Les entiers {n,m} sont strictement positifs. On note {\mathcal M_{p,q}(\mathbb R)} l’espace des matrices réelles à {p} lignes et {q} colonnes, {\mathcal M_n(\mathbb R)=\mathcal M_{n,n}(\mathbb R)}, {I_n} l’identité et {A^\top} la transposée de {A}.
On note {\mathcal S_n(\mathbb R)} les matrices symétriques, {\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} les matrices inversibles, {\mathrm{SL}_n(\mathbb R)} celles de déterminant {1}, et {\mathrm O_n(\mathbb R)} celles vérifiant {A^\top A=I_n}.
Le produit scalaire canonique et sa norme sont notés {\langle\cdot,\cdot\rangle} et {\|\cdot\|}. Pour un espace réel {E}, on note {\mathcal L(E)} ses endomorphismes et {\mathcal L(E,\mathbb R)} ses formes linéaires.
Objectif
On définit les espaces symplectiques réels, puis on étudie les endomorphismes qui préservent leur forme. Après des préliminaires et les définitions, on montre que les matrices symplectiques réelles ont pour déterminant {1}, puis on examine des contraintes de plongement linéaire. Les deux dernières parties sont largement indépendantes.
I — Préliminaires
Q 1. Soient {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)} telles que {X^\top AY=X^\top BY} pour toutes colonnes {X,Y\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)}. Montrer que {A=B}.
Q 2. Soit {M\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)}. Montrer que les valeurs propres de {M^\top M} sont strictement positives. En déduire l’existence d’une matrice symétrique {S}, à valeurs propres strictement positives, telle que {S^2=M^\top M}.
II.A — Structure d’espace vectoriel symplectique réel
Soit {E} un espace réel de dimension finie {n}. Une forme symplectique sur {E} est une application {\omega:E^2\to\mathbb R} bilinéaire, antisymétrique et non dégénérée. Les deux dernières conditions signifient {\begin{array}{l}\omega(x,y)=-\omega(y,x),\\[8pt]\{x\in E:\forall y\in E,\ \omega(x,y)=0\}=\{0\}.\end{array}}L’espace {E} muni de cette forme est appelé espace vectoriel symplectique réel et noté {(E,\omega)}.
Q 3. Montrer que {\omega(x,x)=0} pour tout {x\in E}.
Pour un sous-espace {F} de {E}, on définit son {\omega}-orthogonal par {F^\omega=\{x\in E:\forall y\in F,\ \omega(x,y)=0\}.}On fixe un tel sous-espace {F}.
Q 4. Justifier que {F^\omega} est un sous-espace vectoriel de {E}.
On suppose qu’il existe une forme symplectique {\omega} sur {\mathbb R^n}. Dans la base canonique {(e_1,\ldots,e_n)}, on définit {\Omega=(\omega(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}.}
Q 10. Montrer que {\omega(x,y)=X^\top\Omega Y}, où {X,Y} sont les colonnes des coordonnées de {x,y}.
Jusqu’à la fin du problème, on écrit {n=2m} et l’on pose {J=\left(\begin{array}{cc}0&-I_m\\[8pt]I_m&0\end{array}\right).}On note {j} l’endomorphisme canoniquement associé à {J}.
Q 13. Montrer que {b_s(x,y)=\langle x,j(y)\rangle} est une forme symplectique sur {\mathbb R^n}.
La forme {b_s} est appelée forme symplectique standard.
II.C — Endomorphismes et matrices symplectiques réels
Un endomorphisme {u} de {(E,\omega)} est symplectique s’il vérifie {\omega(u(x),u(y))=\omega(x,y)} pour tous {x,y}. Leur ensemble est noté {\operatorname{Symp}_\omega(E)}.
Soit {u\in\operatorname{Symp}_\omega(E)} et soient {\lambda,\mu} deux valeurs propres réelles, d’espaces propres {E_\lambda(u),E_\mu(u)}.
Q 14. Montrer que, si {\lambda\mu\ne1}, les espaces {E_\lambda(u)} et {E_\mu(u)} sont {\omega}-orthogonaux.
Ce groupe est appelé groupe symplectique réel d’ordre {n=2m}. On considère maintenant {M=\left(\begin{array}{cc}A&B\\[8pt]C&D\end{array}\right),\quad A,B,C,D\in\mathcal M_m(\mathbb R).}
Q 17. Montrer que {M} est symplectique si et seulement si {A^\top C} et {B^\top D} sont symétriques et {A^\top D-C^\top B=I_m}.
On note {\mathcal C_J=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R):JM=MJ\}}.
Q 19. Montrer que {M\in\mathcal C_J} si et seulement s’il existe {U,V\in\mathcal M_m(\mathbb R)} tels que {M=\left(\begin{array}{cc}U&-V\\[8pt]V&U\end{array}\right).}
Q 20. En déduire que {\det M\geq0} pour toute {M\in\mathcal C_J}. On pourra conjuguer {M} par la matrice de blocs {\left(\begin{array}{cc}I_m&0\\[8pt]iI_m&I_m\end{array}\right)}.
III.C — Décomposition polaire d’une matrice symplectique réelle
On note {\operatorname{OSp}_n(\mathbb R)=\operatorname{Sp}_n(\mathbb R)\cap\mathrm O_n(\mathbb R)}. L’espace matriciel est muni de sa topologie usuelle de dimension finie.
Q 21. Montrer que {\operatorname{OSp}_n(\mathbb R)} est un sous-groupe compact de {\operatorname{Sp}_n(\mathbb R)}.
On fixe désormais {M\in\operatorname{Sp}_n(\mathbb R)}, et une matrice symétrique {S} à valeurs propres strictement positives telle que {S^2=M^\top M}, dont Q2 assure l’existence.
Q 24. Montrer que {S} est symplectique. On pourra raisonner dans une base propre de l’endomorphisme {s} associé à {S}.
III.D — Génération par les transvections symplectiques
Soit {(E,\omega)} symplectique de dimension {n=2m}. Une transvection de {E} est un endomorphisme de la forme {\tau(x)=x+\ell(x)a}, où {\ell\in\mathcal L(E,\mathbb R)} et {a\in\ker\ell}.
III.D.1 — Transvection symplectique
Q 27. Soient {a\ne0} et {\lambda\in\mathbb R}. Montrer que {\tau_a^\lambda(x)=x+\lambda\omega(a,x)a}est une transvection et un endomorphisme symplectique.
On veut établir le théorème suivant : tout {u\in\operatorname{Symp}_\omega(E)} est une composée d’au plus {2n=4m} transvections symplectiques.
III.D.2 — Un lemme
Pour tous {x,y\ne0}, on veut construire une composée {\gamma} d’au plus deux transvections symplectiques telle que {\gamma(x)=y}. On fixe ces deux vecteurs.
Q 31. Si {\omega(x,y)\ne0}, montrer qu’il existe {\lambda} tel que {\tau_{y-x}^\lambda(x)=y}.
On pose {P=\operatorname{Vect}(e_1,f_1)}. On cherche une composée {\delta} d’au plus quatre transvections telle que {\delta(u(e_1))=e_1,\quad\delta(u(f_1))=f_1.}
Q 35. Pourquoi existe-t-il une composée {\delta_1} d’au plus deux transvections telle que {\delta_1(u(e_1))=e_1} ?
Q 36. En posant {\widetilde f_1=\delta_1(u(f_1))}, construire une composée {\delta_2} d’au plus deux transvections telle que {\delta_2(e_1)=e_1,\quad\delta_2(\widetilde f_1)=f_1.}On pourra adapter le lemme précédent.
IV — Exemples de plongements symplectiques linéaires
On fixe {n=2m\geq4}. On note {\mathrm{SL}(\mathbb R^{2m})} les endomorphismes de déterminant {1}. Pour {r\geq0}, on définit la boule euclidienne fermée et le cylindre symplectique par {\begin{array}{l}B^{2m}(r)=\left\{(x,y):\displaystyle\sum_{i=1}^m(x_i^2+y_i^2)\leq r^2\right\},\\[8pt]Z^{2m}(r)=\{(x,y):x_1^2+y_1^2\leq r^2\}.\end{array}}On étudie l’existence d’un endomorphisme envoyant une telle partie dans une autre, avec la contrainte d’être de déterminant {1}, puis avec la contrainte d’être symplectique.
IV.A — Injection d’une boule dans un cylindre par un élément de SL
Q 43. Montrer que, pour tout {r>0}, il existe {u\in\mathrm{SL}(\mathbb R^{2m})} tel que {u(B^{2m}(1))\subset Z^{2m}(r)}.
IV.B — Injection d’une boule dans une autre par un élément de SL
On suppose {r>0} et {u\in\mathrm{SL}(\mathbb R^{2m})} tels que {u(B^{2m}(1))\subset B^{2m}(r)}. On note {U} sa matrice canonique et {\lambda\in\mathbb C} une valeur propre de {U}.
Q 44. Montrer que {|\lambda|\leq r}. Dans le cas complexe, on pourra écrire un vecteur propre {Z=P+iQ} et comparer {\|UP\|^2+\|UQ\|^2} à {|\lambda|^2(\|P\|^2+\|Q\|^2)}.
IV.C — Injection symplectique d’une boule dans un cylindre
On suppose {r>0} et {\psi\in\operatorname{Symp}_{b_s}(\mathbb R^{2m})} tels que {\psi(B^{2m}(1))\subset Z^{2m}(r)}. On note {M} sa matrice dans la base canonique {(e_1,\ldots,e_m,f_1,\ldots,f_m)}, et {\psi^\top} l’endomorphisme de matrice {M^\top}.
Q 47. Montrer que {|b_s(\psi^\top(e_1),\psi^\top(f_1))|=1}, puis que {\|\psi^\top(e_1)\|\geq1} ou {\|\psi^\top(f_1)\|\geq1}.
Q 49. Montrer le théorème de non-tassement linéaire : pour {R,R'>0}, il existe {\psi} symplectique tel que {\psi(B^{2m}(R))\subset Z^{2m}(R')} si et seulement si {R\leq R'}.