J’ai été professeur de mathématiques en PCSI et MPSI, aux lycées du Parc (Lyon) et Saint-Louis (Paris), et mon cours de première année est ici présenté ici par chapitres successifs.
Il est « à jour » et contient toutes les démonstrations. La seule chose à compléter est un chapitre sur les familles sommables (mais on a un chapitre sur les séries numériques).
Chapitre 1 — Logique et ensembles
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- Propositions, connecteurs logiques et quantificateurs. Négation d’une phrase quantifiée, importance de l’ordre des quantificateurs et distinction entre condition nécessaire et condition suffisante. Rudiments de logique
- Implication, contraposition, raisonnement par l’absurde et disjonction des cas. Récurrence simple ou forte, puis méthodes d’analyse-synthèse et de résolution d’équations, avec des conseils de rédaction. Raisonnements classiques
- Inclusion, intersection, réunion et complémentaire d’un ensemble. Différence et différence symétrique, produits cartésiens et propriétés de ces opérations. Ensembles
- Applications entre deux ensembles, composition et familles indexées. Images directes et réciproques, fonctions indicatrices et premières règles de calcul sur les images d’ensembles. Applications
- Injectivité, surjectivité et bijectivité, avec leurs critères et leurs liens avec la composition. Construction de la bijection réciproque et cas particulier des involutions. Injections, surjections, bijections
- Relations d’ordre et relations d’équivalence. Classes d’équivalence et partitions d’un ensemble, avec les exemples de la divisibilité, de l’ordre lexicographique et des congruences. Relations binaires
Chapitre 2 — Calculs algébriques
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- Les ensembles de nombres entiers, rationnels, réels et complexes, puis les règles de calcul communes. Propriétés de l’addition et du produit, opposés, inverses et précautions sur les divisions. Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ
- Sommes et produits finis : mise en facteur, changements d’indice et télescopage. Formules pour la somme des entiers, de leurs carrés et de leurs cubes, puis pour les sommes géométriques. Sommes et produits
- Factorielle, coefficients binomiaux et triangle de Pascal. Relations entre coefficients, symétrie et formule du binôme de Newton. Factorielles et coefficients binomiaux
- Sommes doubles sur des domaines rectangulaires ou triangulaires. Interversion de l’ordre de sommation, découpage du domaine et développement des produits de sommes. Sommes doubles, interversions
- Systèmes linéaires, système homogène associé et structure de l’ensemble des solutions. Systèmes triangulaires, opérations élémentaires et méthode du pivot de Gauss, illustrée par trois exemples. Systèmes linéaires
Chapitre 3 — Nombres complexes et trigonométrie
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- Construction des nombres complexes, parties réelle et imaginaire et règles de calcul. Affixes de points et de vecteurs, conjugaison et premières transformations du plan complexe. Notation cartésienne, plan complexe
- Module, conjugué et inégalité triangulaire. Interprétation du module comme distance, propriétés géométriques et ensemble des nombres complexes de module un. Module et distance dans le plan complexe
- Sinus, cosinus et tangente : périodicité, dérivées et formules d’addition. Formules d’Euler et de De Moivre, linéarisation, sommes trigonométriques et transformations de produits en sommes. Trigonométrie circulaire
- Module et argument d’un nombre complexe non nul. Passage entre formes cartésienne et polaire, arguments d’un produit ou d’un quotient et interprétation géométrique de la multiplication. Forme trigonométrique (polaire)
- Racines carrées d’un nombre complexe et méthode de calcul en coordonnées cartésiennes. Résolution des équations du second degré par le discriminant dans le corps des complexes. Équation du second degré dans ℂ
- Racines n-ièmes de l’unité, structure de groupe et disposition régulière sur le cercle unité. Racines n-ièmes d’un complexe non nul et interprétation géométrique des solutions. Racines n-ièmes
- Exponentielle d’un nombre complexe, relation fonctionnelle et périodicité. Images de droites du plan complexe et résolution de l’équation exp(z) = a. Exponentielle complexe
- Alignement, cercles et triangles équilatéraux traduits en nombres complexes. Similitudes directes, conservation des angles, puis expressions des symétries et projections orthogonales. Interprétations géométriques
Chapitre 4 — Techniques d’analyse (dérivation)
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- Ordre dans les réels, calcul sur les inégalités et valeur absolue. Intervalles, bornes supérieure et inférieure, propriété d’Archimède, partie entière et densité. Propriétés de la relation d’ordre dans ℝ
- Puissances à exposants entiers, racines n-ièmes réelles et puissances à exposants rationnels. Domaines de définition, règles de calcul et précautions selon le signe de la base. Puissances à exposants entiers ou rationnels
- Graphes de fonctions, opérations et transformations graphiques. Parité, axes et centres de symétrie, périodicité, monotonie et caractère borné d’une fonction. Généralités sur les fonctions numériques
- Premières règles de dérivation, équations des tangentes et lien entre dérivée et variations. Dérivation d’une bijection réciproque, dérivées successives et lecture de la concavité. Dérivation des fonctions numériques
- Exponentielles, logarithmes et puissances réelles, avec leurs propriétés et leurs croissances comparées. Dérivée logarithmique, fonctions circulaires réciproques et fonctions hyperboliques. Fonctions usuelles
- Organisation d’une étude de fonction : domaine, symétries, variations, tangentes et branches infinies. Inégalités de convexité, comparaison des moyennes, inégalités de Bernoulli et de Cauchy-Schwarz. Études de fonctions, inégalités
Chapitre 5 — Techniques d’analyse (intégration)
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- Primitives d’une même fonction et primitives usuelles. Reconnaissance de la dérivée d’une composée, puis calculs faisant intervenir un dénominateur du second degré. Calculs de primitives
- Intégrale d’une fonction continue sur un segment, linéarité, positivité et relation de Chasles. Lien avec les primitives, intégration par parties et changement de variable. Intégration sur un segment
- Primitives obtenues par récurrence ou décomposition de fractions rationnelles. Fractions trigonométriques, règles de Bioche et changements de variable pour les expressions avec radicaux. Compléments sur les primitives
- Dérivation et intégration d’une fonction à valeurs complexes par ses parties réelle et imaginaire. Extension des règles de calcul et primitives obtenues à l’aide de l’exponentielle complexe. Extension aux fonctions à valeurs complexes
- Équations linéaires du premier ordre : solution de l’équation homogène et structure des solutions de l’équation complète. Superposition, variation de la constante et existence et unicité pour le problème de Cauchy. Équations différentielles y′ +a(x)y = b(x)
- Équations linéaires du second ordre à coefficients constants. Équation caractéristique, solutions réelles ou complexes, recherche d’une solution particulière et problème de Cauchy. Équations différentielles du second ordre
Chapitre 6 — Suites numériques
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- Suites numériques et vocabulaire de base : suites majorées, minorées, bornées ou monotones. Suites périodiques, stationnaires et propriétés vraies à partir d’un certain rang. Généralités sur les suites réelles
- Limites finies ou infinies d’une suite, unicité de la limite et caractère borné d’une suite convergente. Opérations sur les limites, passage aux inégalités et théorème des gendarmes. Limite d’une suite réelle
- Théorème de la suite monotone : convergence d’une suite croissante majorée ou décroissante minorée. Le théorème des suites adjacentes donne ensuite une limite commune et son encadrement. Limites des suites monotones
- Suites extraites et comportement de leurs limites. Théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites réelles bornées et caractérisation séquentielle de la densité. Suites extraites
- Convergence d’une suite complexe à partir de ses parties réelle et imaginaire. Rôle du module, suites bornées et extension du théorème de Bolzano-Weierstrass. Extension aux suites complexes
- Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques et récurrentes linéaires d’ordre deux. Suites définies par itération d’une fonction : intervalles stables, limites éventuelles et représentations graphiques. Suites particulières
Chapitre 7 — Limites, continuité
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- Limite d’une fonction en un point ou à l’infini, limites latérales et unicité. Caractère borné au voisinage d’une limite finie et caractérisation de la limite à l’aide des suites. Limite en un point
- Limites des sommes, produits, quotients et compositions. Conservation des inégalités, encadrements et existence de limites aux bornes pour une fonction monotone. Propriétés des limites
- Continuité en un point et caractérisation séquentielle. Prolongement par continuité et stabilité de la continuité par les opérations usuelles et la composition. Continuité
- Théorème des valeurs intermédiaires et recherche d’un zéro par dichotomie. Bornes atteintes sur un segment, puis bijection et continuité de la réciproque pour une fonction continue strictement monotone. Continuité sur un intervalle
- Limites et continuité des fonctions à valeurs complexes, décrites par leurs composantes réelles et imaginaires. Opérations usuelles et propriétés du module d’une fonction continue sur un segment. Cas des fonctions continues complexes
Chapitre 8 — Dérivabilité
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- Nombre dérivé, tangente et développement limité au premier ordre. Dérivées latérales, règles de dérivation et dérivée d’une bijection réciproque, puis approximation d’un zéro par la méthode de Newton. Nombre dérivé, fonction dérivée
- Extremums locaux, théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis, fonctions lipschitziennes, variations et théorème de la limite de la dérivée. Rolle et accroissements finis
- Dérivées successives et fonctions de classe Cᵏ. Formule de Leibniz, opérations sur les fonctions régulières et théorème de prolongement conservant la régularité. Fonctions de classe Cᵏ
- Dérivées successives des fonctions d’une variable réelle à valeurs complexes. Extension des règles de calcul et de l’inégalité des accroissements finis, avec les limites des versions réelles de Rolle et des accroissements finis. Extension aux fonctions complexes
- Convexité décrite par les cordes et l’épigraphe. Continuité, dérivées latérales, caractérisations par les dérivées première et seconde, position par rapport aux tangentes et inégalités de convexité. Applications convexes
Chapitre 9 — Analyse asymptotique
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- Limites usuelles à l’origine et à l’infini. Croissances comparées des logarithmes, puissances et exponentielles, et limites issues des taux d’accroissement. Rappels de quelques limites usuelles
- Domination, négligeabilité et équivalence de suites, avec les notations de Landau. Règles de calcul sur les équivalents et précautions lorsque des termes sont additionnés ou soustraits. Comparaison des suites
- Comparaison locale de fonctions par domination, négligeabilité ou équivalence. Équivalents usuels, changements de variable et limites des règles de substitution dans les sommes. Comparaison des fonctions
- Développements limités, unicité des coefficients et troncature. Parité, lien avec la dérivabilité, formule de Taylor-Young et développements usuels au voisinage de zéro. Développements limités
- Sommes, produits, compositions, inverses et quotients de développements limités. Choix des ordres de calcul, primitivation et conditions permettant la dérivation d’un développement. Opérations sur les développements limités
- Calcul d’équivalents à partir d’un développement limité. Position d’une courbe par rapport à sa tangente et étude des branches infinies et des asymptotes. Application des développements limités
- Développements asymptotiques faisant intervenir logarithmes et puissances. Étude d’une suite définie implicitement, puis formule de Stirling pour la factorielle. Exemples de développements asymptotiques
Chapitre 10 — Arithmétique dans ℤ
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- Divisibilité dans les entiers, diviseurs et multiples. Existence et unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne, avec les opérations correspondantes en Python. Divisibilité et division euclidienne
- Calcul du pgcd par l’algorithme d’Euclide et recherche d’une relation de Bézout. Propriétés du pgcd, ppcm et lien entre les deux, avec des versions itérative et récursive en Python. Pgcd et algorithme d’Euclide
- Entiers premiers entre eux, théorème de Bézout et lemme de Gauss. Résolution de ax + by = 1, divisibilité par un produit et distinction entre une famille première dans son ensemble et deux à deux. Entiers premiers entre eux
- Nombres premiers et unicité de la décomposition en facteurs premiers. Valuations p-adiques, critères de divisibilité, calcul du pgcd et du ppcm, puis crible d’Ératosthène en Python. Nombres premiers
- Congruences modulo un entier et classes de congruence. Compatibilité avec les opérations et petit théorème de Fermat pour les calculs de puissances modulo un nombre premier. Congruences
Chapitre 11 — Structures algébriques
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- Lois de composition internes, associativité et commutativité. Élément neutre, éléments inversibles, distributivité et parties stables pour une loi. Lois de composition
- Groupes, simplification et résolution d’équations dans un groupe. Critère de sous-groupe, intersections de sous-groupes et description des sous-groupes du groupe additif des entiers. Groupes et sous-groupes
- Anneaux, groupe des éléments inversibles et notion de corps. Identités de factorisation et formule du binôme, avec les précautions imposées par la non-commutativité. Structures d’anneau et de corps
Chapitre 12 — Polynômes, fractions rationnelles
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- Construction de l’anneau des polynômes, degré et composition. Divisibilité, polynômes associés et division euclidienne, avec les règles sur le degré des sommes et des produits. Anneau des polynômes
- Racines d’un polynôme et multiplicité, borne sur le nombre de racines et polynômes scindés. Théorème de d’Alembert-Gauss et relations entre coefficients et racines. Fonctions polynomiales, racines
- Dérivée formelle, dérivées successives et formule de Leibniz. Formule de Taylor polynomiale et caractérisation de la multiplicité d’une racine par l’annulation des dérivées. Dérivation des polynômes
- Pgcd et ppcm de polynômes, algorithme d’Euclide et relations de Bézout. Polynômes premiers entre eux et lemme de Gauss, en parallèle avec l’arithmétique des entiers. Arithmétique dans [X]
- Polynômes irréductibles et unicité de la factorisation. Décomposition en facteurs linéaires sur les complexes et en facteurs de degré un ou deux sur les réels. Polynômes irréductibles et factorisations
- Polynôme d’interpolation de degré minimal associé à des valeurs prescrites en des points distincts. Formule de Lagrange, existence et unicité, puis description de tous les polynômes prenant ces mêmes valeurs. Interpolation de Lagrange
- Construction du corps des fractions rationnelles et simplification des écritures. Degré, partie entière, zéros et pôles avec leurs multiplicités. Fractions rationnelles
- Forme des décompositions en éléments simples sur les réels et les complexes. Calcul des coefficients aux pôles simples ou multiples et cas particulier de la dérivée logarithmique d’un polynôme. Décomposition en éléments simples
Chapitre 13 — Espaces vectoriels
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- Espaces vectoriels réels ou complexes et règles de calcul sur les vecteurs. Exemples d’espaces de fonctions et de suites, puis combinaisons linéaires. Généralités
- Critère de sous-espace vectoriel, exemples de droites et de plans, intersections et sous-espace engendré par une partie. Lien entre une famille de vecteurs et ses combinaisons linéaires. Sous-espaces vectoriels
- Familles libres, liées ou génératrices et caractérisation des bases. Unicité des coordonnées dans une base et exemples de familles de polynômes de degrés distincts. Familles génératrices, libres. Bases
- Sommes de deux ou de plusieurs sous-espaces vectoriels. Sommes directes, unicité de la décomposition et notion de sous-espaces supplémentaires. Somme de sous-espaces vectoriels
- Théorèmes de la base extraite et de la base incomplète, dimension et rang d’une famille. Exemples d’espaces de polynômes et d’espaces de solutions d’équations différentielles ou de récurrences. Espaces de dimension finie
- Dimension d’un sous-espace et existence de supplémentaires en dimension finie. Bases adaptées aux sommes directes et formule de Grassmann pour la dimension d’une somme. Sous-espaces et dimension
Chapitre 14 — Applications linéaires
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- Applications linéaires, opérations et isomorphismes. Images directes et réciproques de sous-espaces, noyau et image, puis caractérisation de l’injectivité par le noyau. Généralités sur les applications linéaires
- Anneau des endomorphismes et groupe linéaire. Homothéties, projecteurs et symétries vectorielles, avec les décompositions en somme directe qui leur sont associées. Endomorphismes
- Détermination d’une application linéaire par ses valeurs sur une base ou ses restrictions à une somme directe. Dimension de l’espace des applications linéaires, théorème du rang et critères d’isomorphisme. Détermination des applications linéaires
- Formes linéaires coordonnées et hyperplans vectoriels. Caractérisation d’un hyperplan comme noyau, équations cartésiennes et description de sous-espaces par des intersections d’hyperplans. Formes linéaires, hyperplans
Chapitre 15 — Sous-espaces affines
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- Points et vecteurs, relation de Chasles et translations. Écriture vectorielle des segments et des milieux, pour passer du langage vectoriel au langage affine. Points et vecteurs, translations
- Sous-espaces affines comme translatés de sous-espaces vectoriels. Direction, dimension, alignement et coplanarité ; exemples d’ensembles de solutions de systèmes ou d’équations différentielles. Sous-espaces affines
- Repères cartésiens et paramétrages d’un sous-espace affine. Représentations paramétriques des droites, des plans et des demi-plans. Paramétrage d’un sous-espace affine
- Parallélisme décrit par les directions des sous-espaces affines. Nature et direction d’une intersection non vide, avec les différents cas de position de droites et de plans. Parallélisme et intersection
- Équation d’un hyperplan affine, puis cas des droites du plan et des plans de l’espace. Liens entre équations cartésiennes, paramétrages, parallélisme et intersections. Équation cartésienne d’un hyperplan
- Sous-espaces affines décrits par un système d’équations. Intersections d’hyperplans, compatibilité des équations et détermination de la dimension à l’aide du rang. Systèmes d’équations d’un sous-espace affine
- Barycentres de points pondérés, isobarycentres et propriété d’associativité. Stabilité des sous-espaces affines par barycentration, repères affines et coordonnées barycentriques. Barycentres et repères affines
Chapitre 16 — Calcul matriciel
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- Espaces de matrices rectangulaires, opérations linéaires et base canonique. Matrices carrées et familles particulières, avec des représentations par tableaux NumPy. Espaces de matrices
- Définition du produit matriciel, bilinéarité, associativité et non-commutativité. Interprétation par les applications linéaires, calcul par lignes ou colonnes et produits des matrices élémentaires de la base canonique. Produit matriciel
- Puissances de matrices, formule du binôme pour deux matrices qui commutent et nilpotence. Inversibilité, calcul de l’inverse et utilisation des polynômes annulateurs. Calculs sur les matrices carrées
- Transposée d’une somme, d’un produit et d’une inverse. Matrices symétriques ou antisymétriques et décomposition d’une matrice carrée en somme de ces deux types. Transposition
- Découpage d’une matrice en blocs et règles de calcul compatibles avec ce découpage. Sommes, produits et exemples de matrices diagonales ou triangulaires par blocs. Calculs par blocs
Chapitre 17 — Matrices et applications linéaires
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- Matrices de familles de vecteurs et d’applications linéaires dans des bases fixées. Calcul des coordonnées d’une image et traduction matricielle de la composition, de l’inversion et des puissances. Matrices et applications linéaires
- Matrices de passage et formules de changement de bases. Matrices équivalentes, réduction à une forme de rang donné et distinction avec la similitude des matrices carrées. Changements de bases
- Trace d’une matrice carrée, linéarité et relation entre les traces de deux produits. Invariance par similitude et définition de la trace d’un endomorphisme indépendamment de la base. Trace d’une matrice, d’un endomorphisme
- Noyau, image et rang de l’application linéaire associée à une matrice. Invariance du rang par équivalence ou transposition et caractérisation à l’aide des matrices extraites inversibles. Noyau, image et rang d’une matrice
- Matrices échelonnées et opérations élémentaires conservant le rang. Méthode du pivot pour le calcul du rang et de l’inverse, avec un exemple détaillé et sa mise en œuvre en Python. Calcul effectif du rang
- Systèmes linéaires traduits en équations matricielles, en applications linéaires ou en intersections d’hyperplans. Compatibilité, structure de l’ensemble des solutions et résolution des systèmes de Cramer. Étude matricielle des systèmes linéaires
Chapitre 18 — Déterminants
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- Permutations, cycles et transpositions. Décomposition en cycles à supports disjoints, calcul des puissances et signature d’une permutation. Le groupe symétrique
- Applications multilinéaires et formes alternées. Construction du déterminant dans une base, droite des formes alternées en dimension finie et caractérisation des bases par un déterminant non nul. Formes n-linéaires alternées
- Déterminant d’un endomorphisme et d’une matrice carrée. Multiplicativité, invariance par transposition et caractérisation de l’inversibilité par la non-nullité du déterminant. Déterminant d’un endomorphisme, d’une matrice
- Effet des opérations élémentaires sur un déterminant, développement selon une ligne ou une colonne et comatrice. Déterminants triangulaires, triangulaires par blocs et formule de Vandermonde. Calcul des déterminants
- Orientation d’un espace vectoriel réel à partir de ses bases. Effet d’une permutation des vecteurs et interprétation du déterminant comme aire ou volume orienté. Déterminants et orientation
Chapitre 19 — Espaces préhilbertiens réels
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- Produit scalaire réel, exemples sur les vecteurs et les fonctions, puis norme et distance associées. Inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire et formule de polarisation. Produit scalaire, norme et distance
- Orthogonalité, liberté des familles orthogonales et théorème de Pythagore. Procédé de Gram-Schmidt, existence des bases orthonormales et calcul des coordonnées et du produit scalaire dans ces bases. Orthogonalité
- Produit mixte et interprétation en aire ou en volume orientés. Produit vectoriel dans l’espace, formule du double produit vectoriel et résolution du problème de la division vectorielle. Produit mixte, produit vectoriel
- Supplémentaire orthogonal et calcul de la projection sur un sous-espace de dimension finie. Caractérisations du projeté et propriété de meilleure approximation donnant la distance au sous-espace. Projections orthogonales
- Hyperplan affine déterminé par un point et un vecteur normal. Équations, distances à une droite ou à un plan, puis orientation d’un hyperplan par le choix d’une normale. Hyperplans affines d’un espace euclidien
- Isométries vectorielles caractérisées par la conservation de la norme ou du produit scalaire. Groupe orthogonal, symétries orthogonales et réflexion échangeant deux vecteurs de même norme. Isométries vectorielles
- Matrices des isométries et matrices de passage entre bases orthonormales. Groupes orthogonal et spécial orthogonal, déterminant, orientation et conservation du produit mixte. Matrices orthogonales
- Matrices orthogonales d’ordre deux, rotations et réflexions du plan. Angle d’une rotation, angles orientés de vecteurs et classification des isométries vectorielles planes. Isométries en dimension 2
Chapitre 20 — Intégration
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- Continuité uniforme et distinction avec la continuité en chaque point. Contre-exemples et théorème de Heine : toute fonction continue sur un segment y est uniformément continue. Continuité uniforme
- Subdivisions, fonctions en escaliers et fonctions continues par morceaux. Opérations sur ces fonctions, puis construction de l’intégrale d’une fonction en escaliers et premières propriétés. Continuité par morceaux
- Construction de l’intégrale des fonctions continues par morceaux et propriétés sur un segment. Inégalités intégrales, sommes de Riemann et approximation numérique par la méthode des trapèzes. Intégrale sur un segment
- Lien entre l’intégrale et les primitives par le théorème fondamental. Intégration par parties, éventuellement répétée, et changements de variable pour le calcul d’intégrales ou de primitives. Intégrale et primitives
- Formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de Taylor-Lagrange et formule de Taylor-Young. Différences entre estimation d’un reste et développement local d’une fonction. Formules de Taylor
- Intégrabilité sur un intervalle quelconque, d’abord pour les fonctions positives puis pour les fonctions réelles ou complexes. Domination, propriétés de l’intégrale et critères fondés sur les intégrales de Riemann et de Bertrand. Intégration sur un intervalle quelconque
Chapitre 21 — Séries numériques
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- Sommes partielles, nature, somme et restes d’une série. Séries géométriques, harmoniques ou exponentielles, linéarité et lien entre une suite et la série de ses différences successives. Séries convergentes ou divergentes
- Convergence des séries positives par majoration des sommes partielles, domination ou équivalence. Comparaison série-intégrale, séries de référence et règle de d’Alembert. Séries à termes positifs
- Convergence absolue et convergence simple d’une série réelle ou complexe. Critère de domination et théorème du produit de Cauchy pour deux séries absolument convergentes. Convergence absolue
- Théorème des séries alternées lorsque la valeur absolue des termes décroît vers zéro. Encadrement de la somme et majoration du reste par le premier terme négligé. Séries alternées
- Rayon de convergence d’une série entière, opérations et régularité de la somme. Dérivation et primitivation terme à terme, identification des coefficients et développements usuels. Séries entières d’une variable réelle
- Développement décimal propre d’un réel de l’intervalle [0,1[. Construction à partir de la partie entière, existence et unicité de cette écriture. Représentation décimale des réels
Chapitre 22 — Dénombrements
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- Cardinaux des ensembles finis et comptages par bijection. Applications, parties, listes d’éléments distincts et combinaisons, avec les identités sur les coefficients binomiaux. Ensembles finis ou dénombrables
- Ensembles finis ou dénombrables, exemples et stabilité par produit. Argument diagonal de Cantor pour la non-dénombrabilité des réels, puis familles d’ensembles et fonctions à valeurs discrètes. Ensembles dénombrables
Chapitre 23 — Probabilités
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- Probabilités sur un univers fini et opérations sur les événements. Conditionnement, formules des probabilités composées, totales et de Bayes, puis indépendance deux à deux ou mutuelle. Événements, probabilités
- Variables aléatoires sur un univers fini, loi et fonction de répartition. Loi d’une fonction d’une variable aléatoire et exemples des lois uniforme, de Bernoulli et binomiale. Variables aléatoires
- Lois conjointes, marginales et conditionnelles. Indépendance d’un couple ou d’une famille de variables aléatoires et comportement des fonctions de variables indépendantes. Couples de variables aléatoires
- Espérance, théorème du transfert et linéarité, puis variance, covariance et corrélation. Espérance d’un produit et variance d’une somme, avec les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. Espérance et variance