170 planches corrigées données à l'oral MP de Centrale-Supélec

J’ai été membre du jury de l’oral du concours Centrale-Supélec, dans la filière MP, pendant une dizaine d’années. À ce titre, j’ai proposé un certain nombre d’exercices d’oral. Certains sont déjà en ligne sur ce site. Je propose les autres sur cette page.

À ce jour, cette page contient 170 sujets. J’indique les documents qui contiennent des questions à traiter avec le langage Python.

Les planches, par thème

Polynômes

Composition de polynômes (sujet)
Condition pour

{P\in\mathbb{R}_3[X]}

scindé simple (sujet)
Opérateur

{\Delta}

sur les polynômes (sujet)
Polynômes affinement équivalents (sujet)
Unitaires de

{\mathbb{Z}[X]}

à racines dans

{D(0,1)}

(sujet)
Racines d'une suite de polynômes (sujet)
Dérivées successives de

{\exp(1/(1\pm x^2))}

(sujet)
Zéros réels d'un polynôme de Maclaurin (sujet)
Irréductibilité des polynômes de Chebyshev (sujet)
Suite récurrente et arithmétique (sujet)
Relations entre sommes harmoniques (sujet)
Autour des polynômes de Bernoulli (sujet)
Un déterminant à coefficients polynomiaux (sujet)
Les racines du polynôme dérivé [Python] (sujet)
Interpolation et différences divisées [Python] (sujet)
Arithmétique des polynômes [Python] (sujet)
Approximation polynomiale [Python] (sujet)
Polynômes cyclotomiques [Python] (sujet)

Algèbre générale, Probabilités

Facteurs premiers des entiers

{a^n-1}

(sujet)
Suite de Fibonacci modulo 41 (sujet)
Égalités de coefficients binomiaux (sujet)
Inégalités à la Tchebychev (sujet)
Entropie d'une variable aléatoire [Python] (sujet)
Successions de Pile ou Face [Python] (sujet)
Théorème de Wolstenholme [Python] (sujet)
Lancers de dés et temps d'attente [Python] (sujet)
Le dernier chiffre non nul de

{n!}

[Python] (sujet)
Groupes de matrices [Python] (sujet)

Matrices stochastiques

{}

Matrices stochastiques irréductibles [Python] (sujet)
Puissances de matrices stochastiques [Python] (sujet)
Exemple de matrice stochastique [Python] (sujet)
Diagonaliser une matrice stochastique [Python] (sujet)
Autre exemple de matrice stochastique [Python] (sujet)
Réduction de matrice stochastique [Python] (sujet)
Puissances de matrices stochastiques positives [Python] (sujet)

Matrices, déterminants

Algorithme de Babylone matriciel (sujet)
Groupe de matrices 3x3 non inversibles (sujet)
Groupes d'endomorphimes de même rang (sujet)
Matrices extrémales à coeffs dans

{[-1,1]}

(sujet)
Matrices semblables à leur inverse (sujet)
Matrices semblables de rang 1 ou 2 (sujet)
Matrices semblables par blocs (sujet)
Points entiers sur une hyperbole (sujet)
Sous-espaces de matrices nilpotentes (sujet)
Sous-espaces de matrices inversibles (sujet)
Triplets rectangulaires (sujet)
Déterminants et polynômes (sujet)
Équation au crochet de Lie (sujet)
Identité matricielle AXB=BXA (sujet)
Décomposition en sommes de carrés (sujet)
Autour du produit de Kronecker (sujet)
Décompositions en nilpotents (sujet)
Autour de la décomposition QR [Python] (sujet)
Matrice des pgcd(i,j) [Python] (sujet)
Produit de Kronecker de matrices [Python] (sujet)
La matrice des f(pgcd(i,j)) [Python] (sujet)
Puissances et racines d'une matrice [Python] (sujet)
Matrices tridiagonales [Python] (sujet)
Matrices et coefficients d'Euler [Python] (sujet)
Matrices centro-symétriques [Python] (sujet)
La matrice des

{\text{ppcm}(i,j)}

[Python] (sujet)
Le théorème de Smith [Python] (sujet)
Itération matricielle, approximations [Python] (sujet)
Déterminants et nombres de Catalan [Python] (sujet)
Déterminants polynomiaux [Python] (sujet)

Produits scalaires, normes

Décomposition polaire par minimisation (sujet)
Rang et positivité d'une matrice symétrique (sujet)
Sommes des distances à une droite (sujet)
Un produit scalaire sur

{\mathbb{R}_n[X]}

(sujet)
Minimisation de forme quadratique sur

{\mathbb{Z}^2}

(sujet)
Système à diagonale dominante (sujet)
Un problème de minimax (sujet)
Matrices symétriques congruentes (sujet)
Spectre de matrices symétriques (sujet)
Une décomposition polaire [Python] (sujet)
Matrices de Householder [Python] (sujet)
L'inégalité de Kantorovitch [Python] (sujet)
Un produit scalaire de polynômes [Python] (sujet)

Polynômes matriciels, comatrice

{}

Algorithme pour le polynôme caractéristique (sujet)
Polynôme caractéristique et minimal (sujet)
Polynôme minimal et matrice compagnon (sujet)
Une preuve de Cayley-Hamilton (sujet)
L'ensemble des comatrices (sujet)
La transposée de la comatrice (sujet)
Algorithme de Faddeev-Leverrier [Python] (sujet)
Une équation à la comatrice [Python] (sujet)

Réduction des endomorphismes et matrices

Espaces de matrices commutant deux à deux (sujet)
Une matrice de Vandermonde particulière (sujet)
L'équation matricielle

{AX-XB=Y}

(sujet)
Étude de

{M\!\to\! AM\!+\!MA}

{A}

(sujet)
Itération matricielle et approximation (sujet)
Itérations de

{f(M)=(AM+MA)/2}

(sujet)
Puissances de

{f(u)=(au+ua)/2}

(sujet)
Matrices magiques et valeurs propres (sujet)
Réduction de matrices par blocs (sujet)
Sous-algèbre de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}

sans nilpotent (sujet)
Sous-espace de matrices diagonalisables (sujet)
Spectre de sous-matrices principales (sujet)
Une algèbre de matrices 3x3 (sujet)
Autour du crochet de Lie [Python] (sujet)
Réduction d'une matrice par blocs [Python] (sujet)
Réduction de matrices par blocs [Python] (sujet)
Réduction d'une famille de matrices [Python] (sujet)

Calculs asymptotiques

Approximations du nombre

{\pi}

(sujet)
Comparaisons de moyennes (sujet)
Développement d'une racine d'un polynôme (sujet)
Approximation de racines de polynômes (sujet)
Développement en produit infini (sujet)
Développement d'une somme [Python] (sujet)
Un développement en produit infini [Python] (sujet)

Suites numériques, suites de fonctions

Ordre minimal d'une récurrence linéaire (sujet)
Équivalent dans une récurrence de pas 2 (sujet)
Suite récurrente avec

{f(x)=x+\ln(x)}

(sujet)
Une récurrence linéaire d'ordre 2 (sujet)
Une récurrente très sensible (sujet)
Suites récurrentes et produit de Cauchy (sujet)
Méthode de Newton et convergence uniforme (sujet)
Décomposition en fraction continue [Python] (sujet)
Une suite récurrente de pas 2 [Python] (sujet)
Convergence d'une suite de fonctions [Python] (sujet)
Approximants de Padé de exp(x) [Python] (sujet)
Produits infinis [Python] (sujet)
Suites récurrentes [Python] (sujet)
Quatre récurrences croisées [Python] (sujet)
Suite récurrente souvent périodique [Python] (sujet)
Une suite récurrente paramétrée [Python] (sujet)
Une suite récurrence de pas 3 [Python] (sujet)
Suites polynomiales d'entiers [Python] (sujet)
Pavage par des dominos [Python] (sujet)
CV simple d'une suite de fonctions [Python] (sujet)
Étude de la monotonie d'une suite [Python] (sujet)

Séries numériques, séries de fonctions

Série des inverses des nombres de Catalan (sujet)
Une série de fonctions

{\sum\varphi(x^n)}

(sujet)
Série de fonctions et Fibonacci (sujet)
Série génératrice d'une récurrence linéaire (sujet)
Série entière à coefficients factoriels (sujet)
Somme d'une série entière (sujet)
Une somme (bis) de série entière (sujet)
Série entière et suite de Fibonacci (sujet)
Série de fonctions et intégrales (sujet)
Série entière et matrice circulante (sujet)
Séries entières à coefficients 0 ou 1 (sujet)
Sommes harmoniques et constante d'Apery (sujet)
Séries entières et sommes harmoniques (sujet)
Nombres de Bell [Python] (sujet)
Série convergente quasi harmonique [Python] (sujet)
Une série génératrice [Python] (sujet)
Étude d'une série de fonctions [Python] (sujet)
Série convergeant rapidement vers

{\pi}

[Python] (sujet)
Sommes partielles d'une série [Python] (sujet)

{π\text{cotan}(\pi x)}

comme somme de série [Python] (sujet)
Étude d'une série de fonctions [Python] (sujet)

Calcul différentiel

{}

Équation fonctionnelle et série entière (sujet)
Développement d'une solution d'équadiff (sujet)
Équation différentielle

{y''+q(x)y=0}

(sujet)
Un problème d'extrema liés (sujet)
Étude d'une double inégalité [Python] (sujet)

Intégration

Étude de l'intégrale de

{\arctan(x\tan t)}

(sujet)
Étude de l'intégrale de

{\exp(-x^4)\cos(xt)}

(sujet)
Majoration optimale d'une intégrale (sujet)
Une intégrale trigonométrique (sujet)
Suite d'intégrales trigonométriques (sujet)
Théorème de Rouché pour les polynômes (sujet)
Développement d'une intégrale à paramètre (sujet)
Intégrale complexe et constante d'Apery (sujet)
Étude d'une somme de Riemann [Python] (sujet)
Longueur approchée d'une ellipse [Python] (sujet)
Approximants de Padé de

{\exp(x)}

[Python] (sujet)