Pour {A=(a_{i,j})\in M_n(\mathbb R)}, on note {a_{i,j}^{(m)}=(A^m)_{i,j}}. Une matrice est stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et si chaque ligne somme à {1}.
Elle est primitive si elle est stochastique et si une de ses puissances est strictement positive coefficient par coefficient. Elle est irréductible si elle est stochastique et si, pour tous {i,j}, il existe {m\ge1} tel que {a_{i,j}^{(m)}\gt0}. Les questions [P] utilisent Python.
Dans la question 1, {A} est d’ordre {6}, d’indices {0} à {5}, avec {a_{i,i-1}=i/5} pour {1\le i\le5}, {a_{i,i+1}=1-i/5} pour {0\le i\le4}, et des coefficients nuls ailleurs.
1. (a) [P] Vérifier que {A} et {B=(A+I_6)/2} sont stochastiques. Sont-elles primitives, irréductibles ? Donner les éléments propres de {A}.
1. (b) [P] Écrire une fonction d’arguments {(P,m)} renvoyant {m^{-1}\sum\limits_{k=1}^mP^k}. Afficher les résultats pour {A} avec {m=50,100,300}, et comparer à {B^m}.
3. (b) On admet que {1} est valeur propre simple de {B} et que {(B^k)} converge vers une matrice de rang {1} dont toutes les lignes sont égales à un vecteur stochastique strictement positif {\widehat b}. En déduire que {1} est simple pour {A}, et qu’il existe un unique vecteur ligne stochastique strictement positif {\widehat a} tel que {\widehat aA=\widehat a}.
4. (d) Montrer que {\frac1m\sum_{k=1}^mA^k=\widehat A+\frac1mC(I_n-C)^{-1}(I_n-A^m+\widehat A)}pour {m\ge1}, et en déduire la convergence de ces moyennes. Que devient la limite lorsque {A} est en outre bistochastique ?