L’objectif est de déterminer les constantes réelles optimales {\lambda,\mu} telles que, pour {0\lt x\lt\pi/2}, {\begin{array}{c}2+\lambda x^3\tan x\lt\displaystyle\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2+\frac{\tan x}{x}\\[4pt]\displaystyle\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2+\frac{\tan x}{x}\lt2+\mu x^3\tan x\end{array}}On définit {h} sur cet intervalle par {\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2+\frac{\tan x}{x}=2+h(x)x^3\tan x}Les questions marquées [P] utilisent Python.
1. (a) [P] Définir la fonction {h} sur le modèle def h(x):....
On veut maintenant prouver la décroissance. On pose {\begin{array}{l}\varphi(x)=5\sin(2x)-10\sin x\\[4pt]\phantom{\varphi(x)=}{}-x(\cos(2x)-10\cos x+9)\\[4pt]\phantom{\varphi(x)=}{}+6x^2\sin x+2x^3\end{array}}On admet {h'(x)=\frac{\varphi(2x)}{8x^6\sin^2x},\quad\varphi(x)\sim_{x\to0}-\frac{x^9}{3780}}
2. (a) Montrer, à l’aide des séries de sinus et cosinus, que {\varphi(x)=\sum_{k=4}^{\infty}(-1)^{k+1}u_k(x)}où {u_k(x)=\frac{a_kx^{2k+1}}{(2k+1)!},\quad a_k=4^k(2k-9)+8k(3k-1)}L’équivalent admis permet de ne considérer que les termes de degré au moins {9}.