Diagonaliser une matrice stochastique [Python]

Les questions [P] utilisent Python. Pour {n\ge2}, on considère la matrice {A_n\in M_n(\mathbb R)} définie par
{A_n=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&1/n\\[4pt]1&0&\cdots&0&1/n\\[4pt]0&1&\ddots&\vdots&1/n\\[4pt]\vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\[4pt]0&\cdots&0&1&1/n\end{pmatrix}}Autrement dit, la sous-diagonale vaut {1}, la dernière colonne vaut {1/n} et les autres coefficients sont nuls. On note {\chi_n(X)=\det(XI_n-A_n)}.

1. (a) [P] Écrire une fonction d’argument {n} renvoyant les coefficients de {\chi_n} sous forme d’un tableau Numpy.

1. (b) [P] Tester la fonction pour {n=2,3,4,5,6,7,8}. Que peut-on conjecturer ?

1. (c) Démontrer cette conjecture.

2. (a) [P] Déterminer les modules des valeurs propres pour {n=2,3,4,5,6,7,8}. Que peut-on conjecturer ?

2. (b) Démontrer cette conjecture.

3. Démontrer que les racines de {\chi_n} sont toutes simples.

4. Étudier la convergence de {(A_n^p)_{p\in\mathbb N}}.