Soit {E_n=\{1,\ldots,n\}}, avec {E_0=\varnothing}. Une partition est un ensemble de parties non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion est {E_n} ; ces parties sont ses classes. Ainsi {\{\{1\},\{2,5\},\{3,4,6\}\}} partitionne {E_6} en trois classes.
On note {B_n} le nombre de partitions de {E_n} et on convient que {B_0=1}. Les questions [P] utilisent Python.
1. (a) Montrer que {B_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^n\binom nkB_k}.
1. (b) [P] Écrire
Bell(n) renvoyant la liste {[B_0,\ldots,B_n]} et vérifier les valeurs jusqu’à {B_{13}}.2. (a) Montrer que le rayon {R} de {\sum\limits_{n\ge0}(B_n/n!)x^n} est strictement positif.
2. (b) Pour {|x|\lt R}, posons {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(B_n/n!)x^n}. Déterminer une équation différentielle simple puis {f}.
2. (c) En déduire une expression de {B_n} comme somme d’une série.
3. Soit {r>0} et {M_n=\max\limits_{0\le k\le n}(B_kr^k/k!)}. Montrer que {(M_n)} est stationnaire. En déduire {R}.
On précise maintenant le comportement asymptotique de {\ln B_n}.
4. (a) Vérifier que {\ln B_n\le n\ln n} pour {n\ge1}.
4. (b) Pour {r>0}, montrer {B_n=\frac{n!}{2\pi e r^n}\int_{-\pi}^{\pi}\exp\bigl(e^{re^{i\theta}}-in\theta\bigr)\,d\theta}
4. (c) Montrer que, pour {n\ge1}, {re^r=n} possède une unique solution réelle {r_n}.
4. (d) Montrer que {r_n=\ln n-\ln\ln n+O\left(\frac{\ln\ln n}{\ln n}\right)}
4. (e) On admet, avec {r=r_n} dans 4. (b), {B_n\sim\frac{n!\,e^{e^{r_n}-1}}{\sqrt{2\pi e^{r_n}}\,r_n^{n+1}}}En déduire {\ln B_n\sim n\ln n}.