Dans tout le sujet, {f} est continue sur {[-1,1]}, à valeurs réelles, et {n\ge1}. On munit {E=C([-1,1],\mathbb R)} de la norme {\|f\|=\sup\limits_{x\in[-1,1]}|f(x)|}. Dans les questions 1 à 5, on se donne {n+2} points {-1\le x_1\lt\cdots\lt x_{n+2}\le1}. Les questions [P] utilisent Python.
1. Montrer que l’application {\Phi:\mathbb R_n[X]\to\mathbb R^{n+1}} définie par
{\Phi(P)=(P(x_i)+P(x_{i+1}))_{1\le i\le n+1}}est un isomorphisme.
{\Phi(P)=(P(x_i)+P(x_{i+1}))_{1\le i\le n+1}}est un isomorphisme.
2. En déduire qu’il existe un unique {P\in\mathbb R_n[X]} tel que, pour {1\le i\le n+1},
{f(x_i)-P(x_i)=-(f(x_{i+1})-P(x_{i+1}))}
{f(x_i)-P(x_i)=-(f(x_{i+1})-P(x_{i+1}))}
3. [P] Avec Sympy, déterminer {P} pour {n=5}, {f=\sin} et les points {-1}, {-0,5}, {-0,3}, {-0,1}, {0,4}, {0,8}, {0,9}. Tracer {f-P} sur {[-1,1]}.
4. Revenant au cas général et au polynôme de la question 2, montrer que
{|f(x_1)-P(x_1)|\le d(f,\mathbb R_n[x])\le\|f-P\|}On pourra utiliser : si {|a|\lt|b|}, alors {b-a} a le signe de {b}. En déduire un encadrement de {d(\sin,\mathbb R_5[x])}.
{|f(x_1)-P(x_1)|\le d(f,\mathbb R_n[x])\le\|f-P\|}On pourra utiliser : si {|a|\lt|b|}, alors {b-a} a le signe de {b}. En déduire un encadrement de {d(\sin,\mathbb R_5[x])}.
5. [P] Reprendre avec les points {-0,9}, {-0,5}, {-0,25}, {0,2}, {0,6}, {0,85}, {1}. Comment semblent-ils avoir été choisis ? Déterminer le nouveau {P} et tracer {f-P}.
6. (a) Montrer qu’il existe {P^*\in\mathbb R_n[X]} tel que {d(f,\mathbb R_n[x])=\|f-P^*\|}. On l’appelle polynôme de meilleure approximation (PMA) à l’ordre {n}.
6. (b) Une fonction {g} équioscille en {p} points s’il existe {x_1\lt\cdots\lt x_p} et {\varepsilon\in\{-1,1\}} tels que {g(x_i)=(-1)^i\varepsilon\|g\|}. Montrer que si {f-P} équioscille en {n+2} points, alors {P} est un PMA à l’ordre {n}.
6. (c) Expliquer la méthode utilisée aux questions 3 et 5.
7. (a) Pour {n\ge0}, soit {T_n(x)=\cos(n\arccos x)}. Montrer qu’il s’agit d’une fonction polynomiale, préciser son degré et montrer qu’elle équioscille en {n+1} points de {[-1,1]}.
7. (b) Pour {f(x)=x^{n+1}}, montrer que {P^*=X^{n+1}-2^{-n}T_{n+1}} est un PMA à l’ordre {n}.
7. (c) En déduire que tout polynôme unitaire {Q} de degré {n+1} vérifie {2^{-n}\|T_{n+1}\|\le\|Q\|}.
7. (d) Pour un polynôme {f} de degré {n+1}, déterminer un PMA à l’ordre {n}. Application : {f(x)=x^3+7x^2-8x+17}, à l’ordre {2}.