Déterminants et nombres de Catalan [Python]

Les questions [P] utilisent Python ; [P?] autorise indifféremment Python ou un calcul à la main. On convient que {\binom np=0} pour {p\lt0} ou {p\gt n}.
On définit {c_n=\frac1{n+1}\binom{2n}n}. Pour {n\in\mathbb N}, {H_n} est la matrice d’ordre {n+1} de terme général {h_{i,j}=c_{i+j}}, avec {0\le i,j\le n}. Les indices commencent à {0}, donc le coefficient en haut à gauche est {c_0=1}.

1. (a) [P] Écrire une fonction c(n) calculant {c_n}. Afficher les coefficients de {c_0} à {c_{10}}.

1. (b) [P] Écrire H(n) calculant {H_n}. Par exemple,
{H_3=\begin{pmatrix}1&1&2&5\\[4pt]1&2&5&14\\[4pt]2&5&14&42\\[4pt]5&14&42&132\end{pmatrix}}

1. (c) [P] Calculer {\det H_n} pour {0\le n\le10}. Que remarque-t-on ?

On pose {P_m(X)=(1-X)(1+X)^{2m}=\sum\limits_{k\ge0}\lambda_{m,k}X^k}.

2. (a) Montrer que {c_n=\binom{2n}n-\binom{2n}{n+1}=\binom{2n}n-\binom{2n}{n-1}}.

2. (b) Montrer que, pour {0\le k\le2m+1},
{\lambda_{m,k}=\frac{2m+1-2k}{2m+1}\binom{2m+1}k}

2. (c) Observer que {\lambda_{m,2m+1-k}=-\lambda_{m,k}}.

Soient {i,j\in\mathbb N}, {m=\min(i,j)} et {\mu_{i,j}} le coefficient de degré {i+j+1} dans {P_iP_j}.

3. (a) En écrivant {P_iP_j=(1-2X+X^2)(1+X)^{2i+2j}} et en utilisant 2(a), montrer que {\mu_{i,j}=-2c_{i+j}}.

3. (b) Montrer que {\mu_{i,j}=\sum\limits_{k=-m-1}^m\lambda_{i,i+1+k}\lambda_{j,j-k}}.

3. (c) En utilisant 2(c), montrer que {\mu_{i,j}=2\sum\limits_{k=0}^m\lambda_{i,i+1+k}\lambda_{j,j-k}}.

3. (d) On pose {\beta_{i,j}=\frac{2j+1}{2i+1}\binom{2i+1}{i+j+1}}, avec {\beta_{i,j}=0} si {j\gt i}. Montrer, pour {0\le i,j\le n}, que {c_{i+j}=\sum\limits_{k=0}^n\beta_{i,k}\beta_{j,k}}.

4. (a) Interpréter 3(d) comme le produit de deux matrices triangulaires transposées. En déduire {\det H_n}.

4. (b) [P] Illustrer ce résultat pour {n=4}.

Indications Python

math.factorial et math.comb calculent des entiers exacts ; scipy.special.binom renvoie des flottants. np.array crée une matrice, np.linalg.det calcule un déterminant numérique, A.dot(B) un produit matriciel et A.T une transposée.