Dans tout l’énoncé, {n\in\mathbb N}. Les questions [P] utilisent Python.
1. (a) Pour {0\leq i\leq n}, soit {L_{n,i}(X)=\prod\limits_{0\leq k\leq n,\ k\ne i}(X-k)/(i-k)}. Ce polynôme vaut {1} en {i} et {0} aux autres entiers de {0} à {n}. [P] Écrire
L(n,i,x) et vérifier {L_{10,3}(0,5)\simeq4,22873}.1. (b) Pour {a=(a_0,\ldots,a_n)}, soit {P_a=\sum\limits_{i=0}^na_iL_{n,i}}, unique polynôme de degré au plus {n} tel que {P_a(k)=a_k}. [P] Écrire
P(a,x).1. (c) [P] Écrire
plotP(a) traçant le graphe de {P_a} et les points {(k,a_k)}. Prendre par exemple une liste de six valeurs et cent abscisses dans {[0,n]}.On cherche à quelle condition, pour {a\in\mathbb Z^{n+1}}, {P_a} possède des coefficients entiers. On note {A_{n+1}} l’ensemble des listes ayant cette propriété. Toutes les matrices qui suivent sont d’ordre {n+1}, leurs lignes et colonnes étant indexées de {0} à {n}.
Soit {T_n=(t_{ij})} triangulaire supérieure, avec {t_{ij}=\binom ji} pour {i\leq j}. On pose {H_j=\prod\limits_{k=0}^{j-1}(X-k)} et {H_0=1}.
2. (a) Montrer que {U_n=T_n^{-1}} est triangulaire supérieure, de coefficients {u_{ij}=(-1)^{j-i}\binom ji} pour {i\leq j}. Indication : interpréter {T_n} comme la matrice d’un endomorphisme de {\mathbb R_n[X]}.
2. (b) Écrire la matrice de passage {B_n} de la base {(L_{n,i})} à la base {(H_j)}.
2. (c) Déterminer une matrice diagonale {\Delta_n} telle que {B_n=T_n^T\Delta_n}.
2. (d) Montrer que {C_n=B_n^{-1}} est triangulaire inférieure, de coefficients {c_{ij}=(-1)^{i-j}/(j!(i-j)!)} pour {j\leq i}.
Pour {a\in\mathbb Z^{n+1}}, on définit {b_i=\sum\limits_{j=0}^i(-1)^{i-j}a_j/(j!(i-j)!)}.
3. (a) Déduire de ce qui précède que {a\in A_{n+1}} si et seulement si {b\in\mathbb Z^{n+1}}.
3. (b) [P] Écrire une fonction formant {b} à partir de {a} et montrer que {(7,11,31,109,311)\in A_5}.