Une suite récurrente paramétrée

Pour {a\in\mathbb R}, on note {u(a)} la suite {u_n(a)=(1+1/n)^{n+a}}, {n\geq1}. On sait que {u_n(a)\to e}. L’exercice étudie la position des termes par rapport à {e} et leur monotonie. Les questions [P] utilisent Python.

1. (a) [P] Écrire u(n,a) calculant {u_n(a)}.

1. (b) [P] Écrire plotu(p,q,a), traçant les points {(n,u_n(a))} pour {p\leq n\lt q}.

1. (c) [P] Tracer les quarante premiers points pour {a=0,4} et {a=0,5}. Conjecturer la monotonie.

1. (d) [P] Étudier expérimentalement la monotonie pour {a=0,49}.

1. (e) [P] On admet que {u(0,499)} est d’abord décroissante, puis croissante. Déterminer son minimum et son rang.

2. À l’aide d’un développement asymptotique, discuter la position de {u_n(a)} par rapport à {e} pour {n} grand.

Pour {x>0}, on pose {F(x)=1/\ln(1+1/x)-x}.

3. (a) Montrer que {F} est strictement croissante. Indication : dans {F'}, poser {x=1/(e^t-1)}, {t>0}.

3. (b) En déduire que {u(a)} est majorée par {e} si et seulement si {a\leq1/\ln2-1}, et minorée par {e} si et seulement si {a\geq1/2}.

4. (a) Écrire une fonction d’arguments {m,n,a} traçant les points {(k,u_k(a))}, pour {m\leq k\leq n}.

4. (b) Conjecturer la monotonie pour {a\in\{0,5;0,4;0,49\}}.

Fixons {a\in\mathbb R} et posons {G(x)=(1+1/x)^{x+a}} pour {x\geq1}.

5. (a) Étudier les variations de {H} définie par {x(x+1)G'(x)=G(x)(H(x)-a)}.

5. (b) En déduire les variations de {G} et la monotonie de {u(a)}.