Pour {n,p\ge1}, {\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)} est l’espace des matrices réelles à {n} lignes et {p} colonnes ; {\mathcal V_{n,p}} désigne celles dont les coefficients appartiennent à {\{-1,1\}}. On note {M^{\mathsf T}} la transposée de {M} ; une matrice est antisymétrique si {M^{\mathsf T}=-M}.
On utilise les notations {\mathcal M_n(\mathbb R)}, {I_n}, {0_n}, {\operatorname{tr}M} et {\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} pour les matrices carrées, l’identité, la matrice nulle, la trace et les matrices inversibles. Les puissances sont définies par {M^0=I_n} et {M^{k+1}=MM^k}.
Une matrice est nilpotente si {M^k=0_n} pour un entier {k\ge1}. Leur ensemble est noté {\mathcal N_n}. Le sous-espace engendré par une partie {U} est noté {\operatorname{Vect}(U)}.
Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé discret {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}. On note {\mathbb E} l’espérance et {\mathbb V} la variance, lorsqu’elles existent.
On admet le lemme des coalitions : des fonctions de deux groupes disjoints d’une famille de variables mutuellement indépendantes sont indépendantes. On munit {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} du produit scalaire euclidien canonique {\langle\cdot\mid\cdot\rangle}. On note {\operatorname{ch}} le cosinus hyperbolique.
Le problème étudie les matrices nilpotentes, puis des matrices et vecteurs aléatoires à coefficients {\pm1}. La dernière partie établit l’existence de familles de vecteurs unitaires presque orthogonaux. Les quatre parties sont largement indépendantes ; Q9 intervient en II.C, Q14 et Q16 en II.D, Q19 en IV.
I — Partie I
I.A — Résultats préliminaires
Q 1. Montrer que {M\mapsto\operatorname{tr}M} est une forme linéaire et que {\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)} pour {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)}.
Soient {C_1,\ldots,C_n} des colonnes réelles, avec {C_1\ne0}.
Q 14. Si {(C_1,\ldots,C_n)} est liée, montrer qu’il existe un unique {j\in\{1,\ldots,n-1\}} tel que {(C_1,\ldots,C_j)} soit libre et {C_{j+1}\in\operatorname{Vect}(C_1,\ldots,C_j)}.
Soient {1\le d\le n}, une famille libre {(U_1,\ldots,U_d)} et {H=\operatorname{Vect}(U_1,\ldots,U_d)}.
Q 15. Montrer qu’il existe {1\le i_1\lt \cdots\lt i_d\le n} tels que {x\mapsto(x_{i_1},\ldots,x_{i_d})^{\mathsf T}} soit une bijection de {H} sur {\mathcal M_{d,1}(\mathbb R)}. On pourra utiliser le rang de la matrice de colonnes {U_1,\ldots,U_d}.
Jusqu’à la fin de II, les {n^2} variables {m_{i,j}} sont mutuellement indépendantes et de loi {\mathcal R}. On pose {M_n=(m_{i,j})}, {\tau_n=\operatorname{tr}M_n} et {\delta_n=\det M_n}.
Q 20. Calculer l’espérance et la variance de {\tau_n}.
On reprend les colonnes {C_1,\ldots,C_n} de {M_n}. Pour {1\le j\lt n}, {R_j} est l’événement « {(C_1,\ldots,C_j)} libre et {C_{j+1}\in\operatorname{Vect}(C_1,\ldots,C_j)} ». Enfin {R_n} est l’événement « {(C_1,\ldots,C_n)} libre ».
Q 28. Montrer que {(R_1,\ldots,R_n)} est un système complet d’événements.
Soit {0\lt p\lt 1}, et {q=1-p}. On part de la matrice {A_0} dont tous les coefficients valent {1}. À chaque tour, les coefficients déjà égaux à {-1} sont conservés ; chacun des autres devient {-1} avec probabilité {p}, et reste {1} avec probabilité {q}. Le processus s’arrête à {-A_0}.
On suppose exécutée l’instruction import numpy as np, numpy.random as rd. On pourra utiliser np.ones((n, n)), A.shape, A.size, A.sum() et rd.binomial(1, p), qui simule une Bernoulli de paramètre {p}.
Q 33. Écrire modifie_matrice(p, A), qui modifie sur place le tableau A suivant ce procédé.
Soit {n\ge1}, un sous-ensemble {I} de {\mathbb N} d’au moins deux éléments et une famille {u=(u_i)_{i\in I}} de vecteurs unitaires de {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)}.
Q 36. Montrer que {C(u)=\sup\{|\langle u_i\mid u_j\rangle|:i,j\in I,\ i\ne j\}} existe et appartient à {[0,1]}.
On veut montrer que, pour {\varepsilon\in[0,1]} et {N\le\exp(\varepsilon^2n/4)}, il existe une famille de {N} vecteurs unitaires de cohérence au plus {\varepsilon}, dite presque orthogonale.
Q 38. Montrer que {\operatorname{ch}t\le e^{t^2/2}} pour tout réel {t}.
Soient {X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_n} des signes mutuellement indépendants de loi {\mathcal R}. On pose {X=n^{-1/2}(X_1,\ldots,X_n)^{\mathsf T}} et {Y=n^{-1/2}(Y_1,\ldots,Y_n)^{\mathsf T}}.
Q 39. Montrer que {\mathbb E(e^{t\langle X\mid Y\rangle})=(\operatorname{ch}(t/n))^n} pour {t\in\mathbb R}.
Pour {N\ge1}, soient {(X_j^i)_{1\le i\le N,1\le j\le n}} des signes mutuellement indépendants de loi {\mathcal R}. On pose {X^i=n^{-1/2}(X_1^i,\ldots,X_n^i)^{\mathsf T}}.
Q 46. En déduire que, pour tout entier naturel {N\le e^{\varepsilon^2n/4}}, il existe une famille de {N} vecteurs unitaires de {\mathbb R^n} dont la cohérence est au plus {\varepsilon}.