2022-E3A-Pc-Corrigé

E3A 2022 — Mathématiques — PC

Le sujet comporte quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Un sauteur tente des hauteurs successives numérotées {1,2,\ldots}. Il ne peut tenter la hauteur {n+1} qu’après avoir réussi les {n} précédentes. Conditionnellement à ces réussites, la probabilité de succès au {n}-ième saut vaut {p_n=1/n} ; le premier saut est donc toujours réussi.

On note {S_k} l’événement « le sauteur a réussi son {k}-ième saut » et {X} le numéro du dernier saut réussi.

1. Rappeler sans démonstration la formule des probabilités composées.
2. Rappeler sans démonstration le développement en série entière de l’exponentielle au voisinage de {0}
3. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par {X}.
4. Déterminer {\mathbb P(X=1)}.
5. Justifier que {\{X=2\}=S_1\cap S_2\cap\overline{S_3}}. En déduire {\mathbb P(X=2)}.
6. Pour {n\ge2}, exprimer {\{X=n\}} à l’aide des {S_k}.
7. Déterminer la loi de {X}.
8. Vérifier par le calcul que {\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb P(X=n)=1}.
9. Montrer que {X} possède une espérance et la calculer.

Exercice 2

Les théorèmes utilisés seront cités avec précision et leurs hypothèses vérifiées.
Pour {n\in\mathbb N}, on pose {u_n=(-1)^n\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^n t\,dt}.

1. Étude de la convergence de la série

1.1. Vérifier que {(|u_n|)} est décroissante.
1.2. Montrer que {|u_n|\to0}.
1.3. Prouver que {\sum\limits_{n\ge0}u_n} converge.

2. Calcul de la somme

2.1. Linéariser {\cos^2(t/2)}.
2.2. En déduire {I=\int_0^{\pi/2}(1+\cos t)^{-1}\,dt}.

2.3. Intégration terme à terme ?

2.3.1. Déterminer une relation de récurrence entre {|u_{n+2}|} et {|u_n|}.
2.3.2. Démontrer par récurrence que {|u_n|\ge1/(n+1)} pour tout {n\in\mathbb N}.
2.3.3. Peut-on utiliser un théorème d’intégration terme à terme pour les séries de fonctions pour calculer {\sum\limits_{n\ge0}u_n} ? Justifier rigoureusement.
2.4. Posons {v_n(t)=(-1)^n\cos^nt} et {V_n(t)=\sum\limits_{k=0}^nv_k(t)}. Appliquer le théorème de convergence dominée à {(V_n)} pour calculer {\sum\limits_{n=0}^{\infty}u_n}.

Exercice 3

Soit {n\ge3}, {E_n=\mathbb R^n} muni du produit scalaire canonique et {\mathcal B=(e_1,\ldots,e_n)}. On définit {f} par {f(e_1)=\sum\limits_{i=1}^ne_i} et {f(e_j)=e_1+e_j} pour {2\le j\le n}, puis {g=f-\operatorname{id}_{E_n}}.

1. Donner les matrices {F} et {G} de {f} et {g} dans {\mathcal B}.
2. Justifier que {f} et {g} sont diagonalisables.

3. Diagonalisation de {f} et {g} dans une même base

3.1. Déterminer une base {\mathcal B_1} de {\operatorname{Im}g}, le rang de {g} et une base {\mathcal B_2} de {\ker g}.
3.2. Montrer que {\operatorname{Im}g} et {\ker g} sont supplémentaires orthogonaux.
3.3. Montrer que {\operatorname{Sp}(g)=\{0,\lambda_1,\lambda_2\}} avec {\lambda_1,\lambda_2\ne0}, {\lambda_1+\lambda_2=0} et {\lambda_1>0}.

3.4. Détermination de {\lambda_1} et {\lambda_2} — Méthode 1

3.4.1. (i) Montrer que {\operatorname{Im}g} et {\ker g} sont stables par {g}.
3.4.1. (ii) Déterminer la matrice {H} dans {\mathcal B_1} de l’endomorphisme {h} induit sur {\operatorname{Im}g}.
3.4.1. (iii) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de {h}.
3.4.1. (iv) En déduire soigneusement {\lambda_1} et {\lambda_2}.

3.4.2. Méthode 2

3.4.2. (i) Montrer que {\operatorname{Sp}(g^2)=\{0,\lambda_1^2,\lambda_2^2\}}.
3.4.2. (ii) Déterminer la matrice de {g^2} dans {\mathcal B}.
3.4.2. (iii) En déduire {\lambda_1^2+\lambda_2^2} en fonction de {n}.
3.4.2. (iv) Retrouver {\lambda_1} et {\lambda_2}.
3.5. Déterminer {P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb R)} dont la première colonne a tous ses coefficients égaux à {1}, sauf éventuellement le premier, et telle que {P^{-1}GP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,0,\ldots,0)}. On ne demande pas {P^{-1}}.
3.6. Justifier que {P^{-1}FP} est diagonale.
4. Résoudre sur {\mathbb R} le système {X’(t)=FX(t)+tU}, où {U} est la première colonne de {P}.

Exercice 4

Lorsque l’intégrale existe, on pose {f(x)=\int_0^{+\infty}(\sin t/t)^2e^{-xt}\,dt}.

1. Continuité de {f}

1.1. Montrer que {t\mapsto(\sin t/t)^2} se prolonge continûment sur {\mathbb R_+}.
1.2. Montrer que {\int_1^{+\infty}(\sin t/t)^2\,dt} converge.
1.3. En déduire que {(\sin t/t)^2} est intégrable sur {\mathbb R_+^*}.
1.4. En déduire que {f} est définie et continue sur {\mathbb R_+}.

2. Régularité de {f}

Soient {0\lt a\lt b} et {x\in[a,b]}.

2.1.1. Montrer que {0\le|\sin t|\le t} pour {t\ge0}.
2.1.2. Montrer que {0\le(\sin^2t/t)e^{-xt}\le te^{-at}} pour {t>0}.
2.1.3. Montrer que {0\le\sin^2t\,e^{-xt}\le e^{-at}} pour {t>0}.
2.2. En déduire que {f\in\mathcal C^2(\mathbb R_+^*)} et donner une expression intégrale de {f''(x)}.

3. Une autre expression de {f''}

On note {i} un complexe tel que {i^2=-1}.

3.1. Montrer que {|e^{(i\theta-x)t}|=e^{-xt}} pour {\theta\in\mathbb R} et {x>0}.
3.2. En déduire que {|e^{(i\theta-x)t}|\to0} quand {t\to+\infty}.
3.3. Montrer que {f''(x)=1/(2x)-x/(2(x^2+4))} pour {x>0}. On pourra utiliser la formule d’Euler pour le sinus.

4. Une autre expression de {f}

4.1. Montrer que {f(x)\to0} lorsque {x\to+\infty}.
4.2. Montrer que {f'(x)\to0} lorsque {x\to+\infty}.
4.3. Calculer la dérivée de {G(t)=t\ln(t^2+4)-2t+4\arctan(t/2)}.
4.4. Déterminer une expression de {f(x)} au moyen de fonctions usuelles pour {x>0}.
5. Calculer {\int_0^{+\infty}(\sin t/t)^2\,dt}.