Pour {n\ge2} et {x_1,\ldots,x_n\in\mathbb C}, on définit {V(x_1,\ldots,x_n)=\det\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\\[8pt]x_1&x_2&\cdots&x_n\\[8pt]\vdots&\vdots&&\vdots\\[8pt]x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{pmatrix}.}On veut démontrer {V(x_1,\ldots,x_n)=\prod\limits_{1\le i\lt j\le n}(x_j-x_i)}.
Q 1. Calculer {V(x_1,x_2)}. Expliquer pourquoi il suffit de démontrer la formule pour des complexes deux à deux distincts.
On suppose désormais les {x_1,\ldots,x_n} deux à deux distincts.
Q 2. Pour {P(t)=V(x_1,\ldots,x_{n-1},t)}, montrer que {P} est polynomial de degré au plus {n-1} et identifier son coefficient de {t^{n-1}}. Démontrer par récurrence la formule de Vandermonde.
Q 4. Donner {n} complexes distincts non nuls {a_k} tels que {\sum\limits_{k=1}^na_k^2=0}. Puis montrer que, pour des {x_k} distincts non nuls, au moins l’une des sommes {\sum\limits_kx_k,\sum\limits_kx_k^2,\ldots,\sum\limits_kx_k^n} est non nulle.
Q 7. Pour {H\ne0} dans une boule de rayon {r>0}, déterminer la limite en zéro de {\|H\|^{-1}\sum\limits_{k=2}^{\infty}H^k/k!}. En déduire la différentiabilité de l’exponentielle en zéro et sa différentielle.
On note {S_n} l’espace des matrices réelles symétriques et {S_n^+} l’ensemble de celles dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles. Pour toute matrice {A}, on pose {e^A=\sum\limits_{k=0}^{\infty}A^k/k!}.
I. Exponentielle d’une matrice symétrique
Pour {a,b\in\mathbb R}, on considère {A=\begin{pmatrix}a&b&b\\[8pt]b&a&b\\[8pt]b&b&a\end{pmatrix},\quad J=\begin{pmatrix}1&1&1\\[8pt]1&1&1\\[8pt]1&1&1\end{pmatrix}.}
Q 8. Montrer, en détaillant les calculs, que {A\in S_3^+} si et seulement si {a+2b\ge0} et {a\ge b}.
Q 9. Calculer {J^k} pour {k\ge1} et examiner {k=0}. En utilisant {A=(a-b)I_3+bJ}, calculer et expliciter {e^A}. On admet {e^{B+C}=e^Be^C} si {B,C} commutent. Vérifier que {e^A\in S_3^+}.
Q 10. Pour {P} inversible, justifier la continuité de {M\mapsto PMP^{-1}}. Si {A\in S_n^+} est semblable à une matrice diagonale {D}, trouver une matrice diagonale semblable à {e^A}. En déduire que {e^A\in S_n^+}.
Pour {A=(a_{ij})}, on note {E(A)=(e^{a_{ij}})} l’exponentielle coefficient par coefficient. On veut montrer que {A\in S_n^+} entraîne {E(A)\in S_n^+}.
Le produit de Hadamard est {A*B=(a_{ij}b_{ij})}. Le produit usuel conserve la notation {AB}. On identifie une matrice {1\times1} avec son unique coefficient.
Q 11. Pour la matrice {A} de la partie I appartenant à {S_3^+}, vérifier que {E(A)\in S_3^+}.
Q 12. Si {D} est diagonale à coefficients positifs ou nuls, quel est le signe de {Y^{\mathsf T}DY} ? En déduire que {A\in S_n} appartient à {S_n^+} si et seulement si {X^{\mathsf T}AX\ge0} pour tout {X\in M_{n,1}(\mathbb R)}.
Q 15. Pour {A=U^2}, {B=V^2} avec {U=(u_{ij}),V=(v_{ij})\in S_n^+}, et {A*B=(c_{ij})}, vérifier que {\begin{array}{l}\displaystyle c_{ij}\\[8pt]\displaystyle \quad=\left(\sum_{k=1}^nu_{ki}u_{kj}\right)\left(\sum_{\ell=1}^nv_{\ell i}v_{\ell j}\right).\end{array}}En déduire que {A*B\in S_n^+}.
Q 16. On note {A^{*p}=A*\cdots*A} ({p} facteurs), {A^{*1}=A} et {A^{*0}=(1)}, la matrice dont tous les coefficients valent {1}. Déterminer la limite de {T_N=\sum_{p=0}^N\frac{A^{*p}}{p!}.}
Q 17. Pour {X\in M_{n,1}(\mathbb R)}, justifier la continuité de {M\mapsto X^{\mathsf T}MX}. Montrer que {S_n^+} est fermé dans {S_n}, puis en déduire que {A\in S_n^+} entraîne {E(A)\in S_n^+}.