Problème 1 — Intégrales de Gauss et théorème de Moivre-Laplace
Le théorème de Moivre-Laplace permet d’approcher des probabilités binomiales par des intégrales gaussiennes. Les parties I et II conduisent au calcul de l’intégrale de Gauss. La majoration de la partie III sert ensuite à établir une convergence simple vers une fonction gaussienne.
Partie I — Convergence d’une suite
Pour {n\ge1} et {0\le k\le2n}, on pose {a_{k,n}=\frac{\sqrt{2n}}{2^{2n+1}}\binom{2n}{k}.} Pour {m\in\mathbb N}, on pose {I_m=\int_0^1(1-t^2)^{m/2}\,dt.}
Q 1. Montrer que {(I_m)_{m\in\mathbb N}} est décroissante.
Pour {n\ge1}, on pose {J_n=\int_0^{\sqrt n}\left(1-\frac{t^2}n\right)^n\,dt} et, pour {t\ge0}, {u_n(t)=\left\{\begin{array}{ll}(1-t^2/n)^n&0\le t\le\sqrt n,\\[8pt]0&t>\sqrt n.\end{array}\right.} Enfin, on considère {K=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2/2}\,dt.}
Q 6. Par un changement de variable simple, déduire de Q5 que {(J_n)} converge et donner sa limite.
Q 10. Montrer qu’il existe {g:[0,1/2]\to\mathbb R} et {M\ge0} tels que {\frac{1-x}{1+x}=e^{-2x+g(x)},\quad |g(x)|\le Mx^3.} Pour la majoration, on pourra écrire {g(x)} sous forme d’intégrale.
Q 12. Pour {n+1\le k\le3n/2+1}, montrer qu’il existe {b_{k,n}\in\mathbb R} tel que {|b_{k,n}|\le\frac M{n^3}(k-n-1)^4} et {\frac{a_{k,n}}{a_{n,n}}=\frac nk e^{b_{k,n}}e^{-(k-n-1)(k-n)/n}.}
Sur un espace probabilisé {(\Omega,\Sigma,\mathbb P)}, on considère des variables {X_n\sim\mathcal B(2n,1/2)}, et on pose {Z_n=\frac{2X_n-2n}{\sqrt{2n}}.} Pour {0\le k\le2n}, on définit {t_{k,n}=\frac{2k-2n}{\sqrt{2n}},\quad J_{k,n}=\left[t_{k,n}-\frac1{\sqrt{2n}},t_{k,n}+\frac1{\sqrt{2n}}\right[.} Les intervalles {J_{k,n}} sont deux à deux disjoints, et leur réunion est {\left[-\sqrt{2n}-\frac1{\sqrt{2n}},\sqrt{2n}+\frac1{\sqrt{2n}}\right[.} On définit {h_n} par {h_n(t)=\frac{\sqrt{2n}}2\mathbb P(X_n=k)} si {t\in J_{k,n}}, et {h_n(t)=0} en dehors de leur réunion.
Q 13. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de {Z_n}.
Q 17. Vérifier que {h_n(t_{k,n})=a_{k,n}}. Puis, en utilisant Q5, Q12 et Q16, montrer que {(h_n)} converge simplement sur {\mathbb R} et préciser sa limite.
La convergence simple obtenue constitue une étape vers le théorème de Moivre-Laplace suivant, dont la démonstration complète n’est pas demandée : pour tous réels {a\lt b}, {\lim_{n\to+\infty}\mathbb P(a\le Z_n\le b)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_a^be^{-t^2/2}\,dt.}
Problème 2 — Factorisation QR
Ce problème étudie les matrices de rang {1}, puis les matrices de Householder, pour établir une factorisation QR d’une matrice carrée quelconque.
On note {\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)} l’ensemble des matrices réelles à {n} lignes et {p} colonnes, et {A^T} la transposée de {A}. Une matrice carrée est aussi identifiée à l’endomorphisme {X\mapsto AX}.
Une matrice est nilpotente si l’une de ses puissances d’exposant strictement positif est nulle. On munit {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} du produit scalaire canonique {\langle X,Y\rangle=X^TY} et de la norme associée. Dans tout ce problème, {n\ge2}.
Partie I — Matrices de rang 1
I.1 — Une expression des matrices de rang 1
Q 18. Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} de rang {1}. Montrer qu’il existe deux colonnes non nulles {X,Y} telles que {A=XY^T}.
Q 36. Montrer que, pour toutes colonnes {\widetilde U,\widetilde V}, il existe une matrice orthogonale {Q} telle que {Q\widetilde U} soit colinéaire à {\widetilde V}.
Q 37. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale {Q_1} telle que {Q_1A=\begin{pmatrix}\alpha&L\\[8pt]0&C_1\end{pmatrix},} avec {\alpha\in\mathbb R}, {L} une ligne et {C_1\in\mathcal M_{n-1}(\mathbb R)}.
Q 38. Par récurrence sur {n}, montrer que toute matrice réelle carrée {A} admet une matrice orthogonale {Q} telle que {QA} soit triangulaire supérieure.