2022-Mines-Mp2-Corrigé

Autour des exponentielles de matrices

On travaille sur {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, avec {n\ge2}. La norme matricielle vérifie {\|I_n\|=1} et {\|AB\|\le\|A\|\|B\|}. On rappelle {e^A=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}.}L’application {f_A(t)=e^{tA}} est de classe {C^1} sur {\mathbb R}, avec {f_A'(t)=Ae^{tA}=e^{tA}A}. On admet aussi {e^{P^{-1}AP}=P^{-1}e^AP} pour {P} inversible.

Le crochet de Lie est {[A,B]=AB-BA}.

1. Questions préliminaires

Dans les questions 1 et 2, on suppose {AB=BA}.

1. Montrer que {A} et {e^B} commutent.

On pose {g(t)=e^{t(A+B)}e^{-tB}}.

2. Montrer que {g} et {f_A} résolvent un même problème de Cauchy. En déduire {e^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}\quad(t\in\mathbb R).\tag{1}}
3. Réciproquement, si (1) est satisfaite pour tout réel {t}, montrer en dérivant deux fois que {A} et {B} commutent.
4. Prouver que {\|e^A\|\le e^{\|A\|}}.
5. Montrer que {\det(e^A)=e^{\operatorname{tr}A}}.

2. Formule de Trotter-Kato

On ne suppose plus {A,B} commutantes. Pour {k\ge1}, on pose {X_k=e^{A/k}e^{B/k},\quad Y_k=e^{(A+B)/k}.}On veut établir {X_k^k\to e^{A+B}}.

6. Montrer que {\|X_k\|} et {\|Y_k\|} sont au plus {\exp((\|A\|+\|B\|)/k)}.

On introduit {h(t)=e^{tA}e^{tB}-e^{t(A+B)}}.

7. Montrer que {X_k-Y_k=O(k^{-2})} lorsque {k\to\infty}.
8. Vérifier {\begin{array}{l}\displaystyle X_k^k-Y_k^k\\[8pt]\displaystyle \quad=\sum_{i=0}^{k-1}X_k^i(X_k-Y_k)Y_k^{k-i-1}.\end{array}}En déduire la formule de Trotter-Kato.

3. Vers les algèbres de Lie

On travaille désormais sur {\mathbb R}. Pour un sous-groupe fermé {G} de {GL_n(\mathbb R)}, on pose {\mathcal A_G=\{M\in M_n(\mathbb R):\forall t\in\mathbb R,\ e^{tM}\in G\}.}On admet que {SL_n(\mathbb R)=\{M:\det M=1\}} et {O_n(\mathbb R)} sont des sous-groupes fermés de {GL_n(\mathbb R)}.

9. Déterminer {\mathcal A_G} pour {G=SL_n(\mathbb R)}.
10. Pour {G=O_n(\mathbb R)}, montrer que {\mathcal A_G} est l’espace {A_n(\mathbb R)} des matrices antisymétriques.

Dans les questions 11 à 14, {G} est un sous-groupe fermé quelconque de {GL_n(\mathbb R)}.

11. En utilisant la partie 2, montrer que {\mathcal A_G} est un sous-espace vectoriel de {M_n(\mathbb R)}.
12. Pour {A,B\in\mathcal A_G}, montrer que {u(t)=e^{tA}Be^{-tA}} appartient à {\mathcal A_G} pour tout {t\in\mathbb R}.
13. En déduire que {\mathcal A_G} est stable par le crochet de Lie.

Une matrice {M} est tangente à {G} en {I_n} s’il existe une courbe dérivable {\gamma:]-\varepsilon,\varepsilon[\to G} telle que {\gamma(0)=I_n} et {\gamma'(0)=M}. On note {T_{I_n}(G)} l’ensemble de ces matrices. On rappelle que le déterminant est différentiable, car polynomial.

14. Prouver {\mathcal A_G\subset T_{I_n}(G)}.
15. Pour {M\in M_n(\mathbb R)}, montrer par un développement limité que {\delta_M(t)=\det(I_n+tM)} est dérivable en zéro et calculer {\delta_M'(0)}.
16. Montrer que la différentielle du déterminant en {I_n} est la forme linéaire trace.
17. Montrer que {T_{I_n}(G)=\mathcal A_G} pour {G=SL_n(\mathbb R)} et pour {G=O_n(\mathbb R)}.

4. Comportement asymptotique

Étude d’un exemple. Soient {\alpha,\beta\in\mathbb C} distincts. On suppose que {A\in M_3(\mathbb C)} a pour valeurs propres {\alpha}, simple, et {\beta}, double.

18. Montrer que {A} est semblable à {T=\begin{pmatrix}\alpha&0&0\\[8pt]0&\beta&a\\[8pt]0&0&\beta\end{pmatrix}.}Calculer {T^n}, puis {e^{tT}}, et donner une condition nécessaire et suffisante sur {\alpha,\beta} pour que {e^{tA}\to0} en {+\infty}.

Cas général. On travaille sur {E=\mathbb C^n}, muni d’une norme quelconque {\|\cdot\|_E}. Soit {u} l’endomorphisme associé à {A\in M_n(\mathbb C)}, et {v_{ij}(t)} les coefficients de {e^{tA}}.

Pour chaque valeur propre {\lambda}, on note {m_\lambda} sa multiplicité et {\begin{array}{l}\displaystyle F_\lambda=\ker(A-\lambda I_n)^{m_\lambda},\quad\alpha\\[8pt]\displaystyle \quad=\max_{\lambda\in\operatorname{Sp}(A)}\operatorname{Re}\lambda.\end{array}}

19. Montrer que {e^{tA}\to0} lorsque {t\to+\infty} entraîne {\alpha\lt 0}.
20. Montrer que {\mathbb C^n=\bigoplus_{\lambda\in\operatorname{Sp}(A)}F_\lambda}.
21. En déduire l’existence de {P,D,N} tels que {P} soit inversible, {D} diagonale, {N} nilpotente, {DN=ND}, {A=P(D+N)P^{-1}} et {\chi_A=\chi_D}.
22. Montrer qu’il existe {p\in\mathbb N} tel que {v_{ij}(t)=O(t^pe^{\alpha t})} en {+\infty}, pour tous {i,j}.
23. Étudier la réciproque de 19.
24. Supposons que toutes les valeurs propres de {A} aient des parties réelles positives ou nulles. Montrer que {e^{tA}X\to0} en {+\infty} si et seulement si {X=0}.

On définit les polynômes {P_s(X)=\prod_{\operatorname{Re}\lambda\lt 0}(X-\lambda)^{m_\lambda},}{\begin{array}{l}\displaystyle P_i(X)=\prod_{\operatorname{Re}\lambda>0}(X-\lambda)^{m_\lambda},\\[12pt]\quad P_n(X)\displaystyle \quad=\prod_{\operatorname{Re}\lambda=0}(X-\lambda)^{m_\lambda},\end{array}}où les produits portent sur le spectre de {A} et un produit vide vaut {1}. On pose {E_s=\ker P_s(A)}, {E_i=\ker P_i(A)} et {E_n=\ker P_n(A)} : ce sont les espaces stable, instable et neutre.

25. Justifier {E=E_s\oplus E_i\oplus E_n}, puis montrer que {E_s=\{X\in E:e^{tA}X\to0\text{ lorsque }t\to+\infty\}.}
26. Montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle E_n\\[8pt]\displaystyle\!=\{X\!\in\! E,\exists C\!>\!0,\exists p\!\in\!\mathbb N,\forall t\!\in\!\mathbb R,\|e^{tA}X\|_E\\[8pt]\displaystyle \le C(1+|t|)^p\}.\end{array}}