On pose {\operatorname{cotan}t=\cos t/\sin t} sur {\mathbb R\setminus\pi\mathbb Z}, et {\zeta(k)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{-k}} pour {k\ge2}.
Première partie
Sur {\mathbb R\setminus\mathbb Z}, on définit: {\begin{array}{l}f(x)=\pi\operatorname{cotan}(\pi x),\\[4pt]\displaystyle g(x)=\frac1x+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1{x+n}+\frac1{x-n}\right)\\[12pt]D=f-g.\end{array}}
1a. Justifier la convergence de la série définissant {g(x)} pour {x\notin\mathbb Z}.
3b. Justifier l’existence de {\alpha\in[0,1]} tel que {\widetilde D(\alpha)=M=\sup_{[0,1]}\widetilde D}, puis montrer que {\widetilde D(\alpha/2^n)=M} pour tout {n\in\mathbb N}.
4. En déduire que {\widetilde D=0} sur {\mathbb R}, puis que {\begin{array}{l}\displaystyle \pi x\operatorname{cotan}(\pi x)\\[8pt]\displaystyle \quad=1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{x^2-n^2}\quad(x\notin\mathbb Z).\end{array}}
On définit {h:\mathbb R\to\mathbb R} par {h(x)=x/(e^x-1)} si {x\ne0}, et {h(0)=1}.
6. Montrer que, pour {z\in\mathbb C} tel que {|z|\lt 2\pi}, {\begin{array}{l}\displaystyle z=(e^z-1)\left(\begin{array}{l}1-\dfrac z2\\[8pt]+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}\zeta(2k)}{2^{2k-1}\pi^{2k}}z^{2k}\end{array}\right).\end{array}}
7b. On pose {b_0=1}, {b_1=-1/2}, {b_{2n+1}=0} et {b_{2n}=(-1)^{n-1}(2n)!\zeta(2n)/(2^{2n-1}\pi^{2n})} pour {n\ge1}. Montrer que {\sum_{k=0}^n\frac{b_k}{k!(n+1-k)!}=\begin{cases}1&n=0,\\[8pt]0&n\ge1.\end{cases}}
Soit {E=\{x_1,x_2,\ldots\}} un ensemble infini dénombrable, dont les éléments sont distincts. On note {\mathcal M(E)} l’ensemble des probabilités sur {E}, et {\mu(x)=\mu(\{x\})}.
L’espace {\mathcal B(\mathcal P(E),\mathbb R)} est celui des fonctions bornées de l’ensemble des parties de {E} vers {\mathbb R}. On pose {\|f\|=\sup_{A\subset E}|f(A)|}.
8a. Montrer que {\mathcal M(E)\subset\mathcal B(\mathcal P(E),\mathbb R)}.
Réciproquement, on suppose désormais {\mu_n(x)\to\mu(x)} pour chaque {x\in E}, avec {\mu\in\mathcal M(E)}. On fixe {\varepsilon>0}.
10a. Montrer qu’il existe une partie finie {F_\varepsilon} et {N_\varepsilon\ge0} tels que {\mu(F_\varepsilon)>1-\varepsilon} et, pour {n\ge N_\varepsilon}, {\sum\limits_{x\in F_\varepsilon}|\mu_n(x)-\mu(x)|\lt \varepsilon}.
10b. Pour toute partie {A\subset E}, montrer que {\begin{array}{l}|\mu_n(A)-\mu(A)|\le|\mu_n(A\cap F_\varepsilon)-\mu(A\cap F_\varepsilon)|\\[8pt]\quad+\mu(E\setminus F_\varepsilon)+\mu_n(E\setminus F_\varepsilon).\end{array}}En déduire une majoration stricte par {4\varepsilon} pour {n\ge N_\varepsilon}.
11. Pour {k\ge1}, soit {\delta_k} la probabilité concentrée en {x_k}. La suite {(\delta_k)} converge-t-elle dans {\mathcal B(\mathcal P(E),\mathbb R)} ?
On considère une suite quelconque {(\mu_n)_{n\ge0}} de probabilités sur {E}.
12a. Montrer qu’il existe des applications strictement croissantes {\varphi_k:\mathbb N^*\to\mathbb N^*} telles que, pour {1\le i\le k}, la suite {(\mu_{\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_k(n)}(x_i))_n} converge.
12c. Montrer que {\psi(k)=\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_k(k)} est strictement croissante et que {\mu_{\psi(k)}(x_i)\to\mu_\infty(x_i)} pour chaque {i}.
Une suite {(\mu_n)} est dite tendue si, pour tout {\varepsilon>0}, il existe une partie finie {F_\varepsilon\subset E} telle que {\mu_n(F_\varepsilon)\ge1-\varepsilon} pour tout {n}.
12e. Si {(\mu_n)} est tendue, montrer que {\mu_\infty} définit une probabilité et une valeur d’adhérence en norme de la suite.
Soit {E} une partie infinie dénombrable de {\mathbb R}. Toutes les variables sont définies sur un même espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)} ; on admet la possibilité de ces constructions.
Pour une variable {X} à valeurs dans {E}, sa loi est {\mu_X(A)=\mathbb P(X\in A)}, pour {A\subset E}.
13. Vérifier que {\mu_X} est une probabilité sur {E}.
14. Pour des variables {X,Y} à valeurs dans {E}, montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle |\mu_X(A)-\mu_Y(A)|\\[8pt]\displaystyle \quad\le\mathbb E\left(|\mathbf1_{\{X\in A\}}-\mathbf1_{\{Y\in A\}}|\right),\end{array}}puis que {\|\mu_X-\mu_Y\|\le\mathbb P(X\ne Y)}.
On suppose que, pour chaque {\omega}, la suite {X_n(\omega)} est stationnaire et converge vers {X(\omega)}. On pose {L(\omega)=0} si tous les {X_n(\omega)} sont égaux à {X(\omega)}, et sinon {L(\omega)=\max\{n\in\mathbb N:X_n(\omega)\ne X(\omega)\}.}
On note {(p_i)_{i\ge1}} les nombres premiers dans l’ordre croissant et {\nu_p(N)} la valuation {p}-adique. Pour {n\ge1}, on définit {\psi_n(x)=\prod_{i=1}^np_i^{\nu_{p_i}(x)}\quad(x\in\mathbb N^*).}
16. Pour une variable {X} à valeurs dans {\mathbb N^*}, montrer que {\mathbb P(X=x)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb P(\psi_n(X)=x)} pour tout {x\ge1}.
On note {\mathbb N^*r} l’ensemble des multiples strictement positifs de {r}, et {\mathbb P(r\mid X)} la probabilité que {r} divise {X}.
17. Soient {\mu_1,\mu_2} deux probabilités sur {\mathbb N^*} telles que {\mu_1(\mathbb N^*r)=\mu_2(\mathbb N^*r)} pour tout {r\ge1}. On veut montrer leur égalité.
17a. Montrer que, pour {r,n\ge1}, {\begin{array}{l}\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n+1}\mathbb N^*rp_i\\[8pt]\displaystyle\quad=\left(\bigcup_{i=1}^n\mathbb N^*rp_i\right)\\[8pt]\displaystyle\quad\cup\left(\mathbb N^*rp_{n+1}\setminus\bigcup_{i=1}^n\mathbb N^*rp_{n+1}p_i\right).\end{array}}
18. Soient {X_n,X} à valeurs dans {\mathbb N^*}. Si les lois de {X_n} forment une suite tendue et si {\mathbb P(r\mid X_n)\to\mathbb P(r\mid X)} pour tout {r\ge1}, montrer que {\mu_{X_n}\to\mu_X} en norme.
Soit {s\ge1}. Pour {n\ge1}, on considère des variables {X_n^{(1)},\ldots,X_n^{(s)}} indépendantes et uniformes sur {\{1,\ldots,n\}}. On note {Z_n^{(s)}} leur PGCD.
Le rang {n=0} mentionné dans l’énoncé ne définit pas de loi uniforme ; les questions suivantes sont donc considérées pour {n\ge1}.
19. Calculer {\mathbb P(r\mid X_n^{(i)})}, montrer que cette probabilité est au plus {1/r}, puis que {\mathbb P(r\mid Z_n^{(s)})\to1/r^s}.
21. Pour {2\le s\le n}, on tire au hasard {s} nombres dans {\{1,\ldots,n\}}. Soit {P_n(s)} la probabilité qu’ils soient premiers entre eux. Montrer, pour {s} fixé, que {P_n(s)\to1/\zeta(s)}, puis donner les limites pour {s=2,4,6}.