2023-Centrale-Mp1-corrigé

Centrale-Supélec 2023 — Mathématiques 1 — MP, MPI

Sur le calcul ombral

Notations utiles pour la partie I
Notations
{\mathbb{K}} désigne {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}. On identifie les polynômes formels de {\mathbb{K}[X]} et les fonctions polynomiales associées, ainsi que les éléments de {\mathbb{K}} et les polynômes constants.
Par convention, le degré du polynôme nul est {-1}. Pour {n\in\mathbb{N}}, {\mathbb{K}_n[X]} désigne l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à {n}. On note {I} l’endomorphisme identité de {\mathbb{K}[X]} et {Tp=T(p)} pour tout endomorphisme {T}.
On note {\mathcal{L}(\mathbb{K}[X])} l’algèbre des endomorphismes de {\mathbb{K}[X]}, et {D} l’endomorphisme de dérivation : {Dp=p'}. Pour tout endomorphisme {T}, {T^0=I} et {T^{k+1}=T\circ T^k=T^k\circ T}. Les endomorphismes inversibles sont les automorphismes de {\mathbb{K}[X]}.

I Étude d’endomorphismes de {\mathbb{K}[X]}

I.A – Soit {a\in\mathbb{K}}. Pour tout {p\in\mathbb{K}[X]}, on pose {E_a(p)=E_ap=p(X+a)}.

Q 1. Montrer que {E_a} est un automorphisme de {\mathbb{K}[X]}.
I.B – À tout {p\in\mathbb{R}[X]}, on associe la fonction {J(p)=Jp} de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}} définie par :
{\forall\\,x\in\mathbb{R},\quad J(p)(x)=Jp(x)=\int_x^{x+1}p(t)\mathrm{d}t.}

Q 2. Montrer que {J} est un endomorphisme de {\mathbb{R}[X]}.
Q 3. Montrer que {J} conserve le degré et que {J} est inversible.
I.C – À tout {p\in\mathbb{K}[X]}, on associe la fonction {L(p)=Lp} de {\mathbb{K}} dans {\mathbb{K}} définie par, pour tout {x\in\mathbb{K}} :
{L(p)(x)=Lp(x)=-\int_0^{+\infty}e^{-t}p'(x+t)\mathrm{d}t}

Q 4. Montrer que {\int_0^{+\infty}e^{-t}t^k\mathrm{d}t} existe pour tout {k\in\mathbb{N}} et calculer sa valeur.
Q 5. Montrer que {L} est un endomorphisme de {\mathbb{K}[X]}. Est-il inversible ?

II Formule de Taylor pour les endomorphismes shift-invariants de {\mathbb{K}[X]}

Soit {T} un endomorphisme de {\mathbb{K}[X]}. On dit que :

  • {T} est shift-invariant si, pour tout {a\in\mathbb{K}}, {E_a\circ T=T\circ E_a} ;
  • {T} est un endomorphisme delta si {T} est shift-invariant et si l’image du polynôme {X} par {T} est une constante non nulle : {TX\in\mathbb{K}^\star}.

II.A –

Q 6. Soit {a\in\mathbb{K}}. Vérifier que les endomorphismes {I} et {D} sont shift-invariants, ainsi que les endomorphismes {E_a}, {J} et {L} définis dans la partie I. Sont-ils des endomorphismes delta ?
Q 7. Montrer que l’ensemble des endomorphismes shift-invariants de {\mathbb{K}[X]} est une sous-algèbre de {\mathcal{L}(\mathbb{K}[X])}. L’ensemble des endomorphismes delta de {\mathbb{K}[X]} est-il stable par addition ? par composition ?
II.B –

Q 8. Soit {(a_k)_{k\in\mathbb{N}}} une suite d’éléments de {\mathbb{K}}. Pour tout polynôme {p\in\mathbb{K}[X]}, montrer que l’expression {\sum_{k=0}^{+\infty}a_kD^kp} a un sens et définit un polynôme de {\mathbb{K}[X]}.
On note alors {\sum_{k=0}^{+\infty}a_kD^k} l’application de {\mathbb{K}[X]} qui, à un polynôme {p\in\mathbb{K}[X]}, associe le polynôme {\sum_{k=0}^{+\infty}a_kD^kp}.

Q 9. Montrer que, pour toute suite {(a_k)_{k\in\mathbb{N}}} d’éléments de {\mathbb{K}}, {\sum_{k=0}^{+\infty}a_kD^k} est un endomorphisme shift-invariant.
Q 10. Soit {(a_k)_{k\in\mathbb{N}}} et {(b_k)_{k\in\mathbb{N}}} des suites d’éléments de {\mathbb{K}} telles que :
{\sum_{k=0}^{+\infty}a_kD^k=\sum_{k=0}^{+\infty}b_kD^k.}Montrer que, pour tout {k\in\mathbb{N}}, {a_k=b_k}.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on définit le polynôme {q_n=X^n/n!}. On se donne {T} un endomorphisme de {\mathbb{K}[X]}.

Q 11. Montrer que {T} est un endomorphisme shift-invariant si, et seulement si :
{T=\sum_{k=0}^{+\infty}(Tq_k)(0)D^k.}
Q 12. Montrer que deux endomorphismes shift-invariants de {\mathbb{K}[X]} commutent.
II.C – Dans cette sous-partie, on applique le résultat de la question 11 aux endomorphismes de la partie I.

Q 13. Pour tout {p\in\mathbb{K}[X]} non nul et {a\in\mathbb{K}}, montrer, à l’aide de la question 11, que :
{p(X+a)=\sum_{k=0}^{\deg(p)}\dfrac{a^k}{k!}p^{(k)}}où {p^{(k)}} désigne la dérivée {k}-ième du polynôme {p}. Reconnaitre cette formule.
Q 14. Pour {p\in\mathbb{K}[X]}, exprimer {Jp} en fonction des dérivées {p^{(k)}} ({k\in\mathbb{N}}) de {p}.
Q 15. Démontrer que l’endomophisme {D-I} est inversible et exprimer {L} en fonction de {(D-I)^{-1}}.
II.D – Dans cette sous-partie, {T} est un endomorphisme non nul shift-invariant de {\mathbb{K}[X]}. On rappelle que le degré du polynôme nul est par convention égal à {-1}.

Q 16. Montrer qu’il existe un entier naturel {n(T)} tel que, pour tout polynôme {p\in\mathbb{K}[X]} :
{\deg(Tp)=\max\{-1,\deg(p)-n(T)\}.}
Q 17. En déduire {\ker(T)} en fonction de {n(T)}.
Q 18. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :

  1. {T} est inversible ;
  2. {T1\neq0} ;
  3. {\forall\,p\in\mathbb{K}[X],\quad\deg(Tp)=\deg(p)}.

Q 19. Si ces conditions sont vérifiées, montrer que {T^{-1}} est encore un endomorphisme shift-invariant.
II.E – Dans cette sous-partie, {T} est un endomorphisme delta de {\mathbb{K}[X]}.

Q 20. Montrer qu’il existe une suite de scalaires {(\alpha_k)_{k\in\mathbb{N}}} vérifiant {\alpha_0=0}, {\alpha_1\neq0} et {T=\sum_{k=1}^{+\infty}\alpha_kD^k}.
Q 21. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme {U} shift-invariant et inversible tel que {T=D\circ U}. Préciser {U} dans le cas {T=D}, puis dans le cas {T=L}.
Q 22. Pour tout polynôme {p\in\mathbb{K}[X]} non nul, vérifier que {\deg(Tp)=\deg(p)-1}. En déduire {\ker(T)} et le spectre de {T}.
Q 23. Pour {n\in\mathbb{N}}, on note {T_n} la restriction de {T} à {\mathbb{K}_n[X]}. Montrer que {T_n} est un endomorphisme de {\mathbb{K}_n[X]}. Est-il diagonalisable ?
Q 24. Déterminer {\operatorname{Im}(T_n)} en fonction de {n\in\mathbb{N}} et en déduire que {T} est surjectif.

III Suite de polynômes associée à un endomorphisme delta

On souhaite montrer que, pour tout endomorphisme delta {Q}, il existe une unique suite de polynômes {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} de {\mathbb{K}[X]} telle que :

  • {q_0=1} ;
  • {\forall\,n\in\mathbb{N},\quad\deg(q_n)=n} ;
  • {\forall\,n\in\mathbb{N}^\star,\quad q_n(0)=0} ;
  • {\forall\,n\in\mathbb{N}^\star,\quad Qq_n=q_{n-1}}.

Cette suite sera appelée suite de polynômes associée à l’endomorphisme delta {Q}.
III.A – Soit {Q} un endomorphisme delta.

Q 25. Montrer l’existence et l’unicité de la suite {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} de polynômes associée à {Q}.
Q 26. Montrer que, pour tout entier naturel {n} :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{K}^2,\quad q_n(x+y)=\sum_{k=0}^nq_k(x)q_{n-k}(y).}
III.B – Réciproquement, soit {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} une suite de polynômes de {\mathbb{K}[X]} telle que {\forall\,n\in\mathbb{N},\quad\deg(q_n)=n} et :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{K}^2,\quad q_n(x+y)=\sum_{k=0}^nq_k(x)q_{n-k}(y).}

Q 27. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme delta {Q} dont {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} est la suite de polynômes associée.
III.C – Soit {Q} un endomorphisme delta, soit {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} la suite de polynômes associée à {Q} et soit {n} un entier naturel.

Q 28. Montrer que la famille {(q_0,q_1,\ldots,q_n)} est une base de {\mathbb{K}_n[X]}.
Q 29. D’après la question 23, {Q} induit un endomorphisme de {\mathbb{K}_n[X]} noté {Q_n}. Donner sa matrice dans la base précédente. En déduire sa trace, son déterminant et son polynôme caractéristique.
III.D – Dans cette sous-partie, on détermine la suite {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} de polynômes associée à certains endomorphismes.

Q 30. Pour {Q=D}, vérifier que :
{\forall\,n\in\mathbb{N},\quad q_n=\dfrac{X^n}{n!}.}
Q 31. Pour {Q=E_1-I}, vérifier que :
{\forall\,n\in\mathbb{N}^\star,\quad q_n=\dfrac{X(X-1)\cdots(X-n+1)}{n!}.}
III.E – Cette sous-partie propose de généraliser la formule de Taylor démontrée dans la partie II. On se donne {Q} un endomorphisme delta et on note {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} la suite de polynômes associée à {Q}.

Q 32. Démontrer que, pour tout {p\in\mathbb{K}[X]}, l’expression {\sum_{k=0}^{+\infty}(Q^kp)(0)q_k} a un sens et définit un polynôme de {\mathbb{K}[X]}, puis que :
{p=\sum_{k=0}^{+\infty}(Q^kp)(0)q_k.}
Q 33. En déduire que, pour tout endomorphisme shift-invariant {T}, on a :
{T=\sum_{k=0}^{+\infty}(Tq_k)(0)Q^k.}
III.F –

Q 34. En choisissant {Q=E_1-I}, démontrer que, si {p} est un polynôme non constant, alors :
{p'(X)=\sum_{k=1}^{\deg(p)}\dfrac1k\left(\sum_{j=0}^k(-1)^{j+1}\binom{k}{j}p(X+j)\right).}C’est la formule de dérivation numérique des polynômes.

IV Un peu de calcul ombral

Si {T} est un endomorphisme de {\mathbb{K}[X]}, on définit sa dérivée de Pincherle, notée {T'}, comme l’endomorphisme de {\mathbb{K}[X]} tel que :
{\forall\,p\in\mathbb{K}[X],\quad T'(p)=T(Xp)-XT(p).}
IV.A – Soient {S} et {T} deux endomorphismes de {\mathbb{K}[X]}.

Q 35. Montrer que, s’il existe {(a_n)_{n\in\mathbb{N}}} suite de scalaires telle que {T=\sum_{k=0}^{+\infty}a_kD^k}, alors {T'=\sum_{k=1}^{+\infty}ka_kD^{k-1}}.
Q 36. Si {T} est un endomorphisme shift-invariant, montrer que {T'} est encore un endomorphisme shift-invariant.
Q 37. Si {T} est un endomorphisme delta, montrer que {T'} est un endomorphisme shift-invariant et inversible.
Q 38. Vérifier que {(S\circ T)'=S'\circ T+S\circ T'}.
IV.B – Soit {Q} un endomorphisme delta. On rappelle que d’après la partie II, il existe un unique endomorphisme {U} shift-invariant et inversible tel que {Q=D\circ U}. On note {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}} la suite de polynômes associée à {Q} au sens de la partie III.

Q 39. Démontrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}^\star}, on a :
{(Q'\circ U^{-n-1})(X^n)=XU^{-n}(X^{n-1}).}
Q 40. En déduire que, pour tout {n\in\mathbb{N}^\star} :
{n!q_n(X)=XU^{-n}(X^{n-1})}puis que :
{nq_n(X)=X(Q')^{-1}(q_{n-1}).}
IV.C – Dans cette sous-partie, on applique les résultats de la question 40 à l’endomorphisme {L} étudié dans les parties I et II. On note {(\ell_n)_{n\in\mathbb{N}}} sa suite de polynômes associée au sens de la partie III.

Q 41. Vérifier que, pour {n\in\mathbb{N}^\star} :
{\ell_n'=\ell_{n-1}'-\ell_{n-1}}et :
{X\ell_n''-X\ell_n'+n\ell_n=0}et :
{\ell_n(X)=\sum_{k=1}^n(-1)^k\binom{n-1}{k-1}\dfrac{X^k}{k!}.}
IV.D – Soient {Q} un endomorphisme delta de suite de polynômes associée notée {(q_n)_{n\in\mathbb{N}}}.

Q 42. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme inversible {T} tel que :
{\forall\,n\in\mathbb{N},\quad Tq_n=\dfrac{X^n}{n!}.}
Q 43. Montrer aussi que {D=T\circ Q\circ T^{-1}}.
IV.E – On fixe {\alpha>0} et on définit la fonction {W} de {\mathbb{K}[X]} par :
{W:\mathbb{K}[X]\longrightarrow\mathbb{K}[X],\qquad p\longmapsto p(\alpha X).}

Q 44. Montrer que {W} est un automorphisme de {\mathbb{K}[X]}.
On pose {P=W\circ L\circ W^{-1}} où {L} est l’endomorphisme étudié dans les parties I et II.

Q 45. Montrer que :
{P=\dfrac1\alpha D\circ\left(\dfrac1\alpha D-I\right)^{-1}.}
Q 46. Montrer ensuite que {P} est un endomorphisme delta dont la suite de polynômes associée {(p_n)_{n\in\mathbb{N}}} vérifie :
{\forall\,n\in\mathbb{N},\quad p_n=\ell_n(\alpha X).}
Q 47. Vérifier que {D=L\circ(L-I)^{-1}} puis que {P=L\circ\bigl(\alpha I+(1-\alpha)L\bigr)^{-1}}.
On note {T} l’unique automorphisme vérifiant, pour tout {n\in\mathbb{N}}, {T\ell_n=X^n/n!} et on pose {Q=T\circ P\circ T^{-1}}.

Q 48. Montrer que {Q=D\circ\bigl(\alpha I+(1-\alpha)D\bigr)^{-1}}. En déduire que {Q} est un endomorphisme delta dont la suite de polynômes associée {(r_n)_{n\in\mathbb{N}}} vérifie :
{\forall\,n\in\mathbb{N}^\star,\quad r_n=\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}\dfrac{X^k}{k!}.}
Q 49. Conclure que, pour tout {n\ge1} :
{\ell_n(\alpha X)=\sum_{k=1}^n\binom{n\!-\!1}{k\!-\!1}\alpha^k(1\!-\!\alpha)^{n-k}\ell_k(X)}
Les endomorphismes {W} et {T} étudiés dans la sous-partie IV.E sont appelés opérateurs ombraux. Les polynômes {(\ell_n)} associés à l’endomorphisme {L} sont connus sous le nom de polynômes de Laguerre (de paramètre {-1}). La dernière formule démontrée grâce aux opérateurs ombraux est leur formule de duplication.