2023-Centrale-Mp2-corrigé

Centrale-Supélec 2023 — Mathématiques 2 — MP, MPI

Notations
Dans tout le sujet, {n} désigne un entier naturel non nul. Pour deux entiers naturels {a,b}, on note {\llbracket a,b\rrbracket} l’ensemble des entiers naturels {k} tels que {a\leqslant k\leqslant b}.
Pour deux suites réelles {(u_m)} et {(v_m)}, la notation {u_m=O(v_m)} signifie qu’il existe une suite bornée {(M_m)} telle que, à partir d’un certain rang, {u_m=M_mv_m}. On pourra utiliser sans démonstration la formule de Stirling précisée :
{n!=\left(\dfrac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}\left(1+O\left(\dfrac1n\right)\right)}Toutes les variables aléatoires considérées sont discrètes.

I Résultats préliminaires

I.A – Calcul d’une intégrale classique
Rappelons que {n} désigne un entier naturel non nul. On note :
{I_n=\int_0^1\dfrac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)^n},\quad K_n=\int_0^{+\infty}\dfrac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)^n}}
I.A.1)

I.A.2)
Dans toute la suite, on posera pour tout {x} réel :
{\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},\quad\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi(t)\mathrm{d}t}
I.B – Comportement asymptotique de {1-\Phi}
Soit {x>0}.

I.C – Une inégalité maximale

Dans cette sous-partie, {n} est un entier naturel non nul et {Z_1,\ldots,Z_n} sont des variables aléatoires discrètes indépendantes sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})}. Pour tout {p\in\llbracket1,n\rrbracket}, on note {R_p=\sum_{i=1}^pZ_i}. On va montrer la propriété suivante, pour tout {x>0} :
{\mathbb{P}\left(\max_{1\leqslant p\leqslant n}|R_p|\geqslant3x\right)\leqslant3\max_{1\leqslant p\leqslant n}\mathbb{P}(|R_p|\geqslant x)}On admet que les différentes fonctions intervenant dans cette inégalité sont bien des variables aléatoires discrètes. Pour simplifier, notons :
{A=\left\{\max_{1\leqslant p\leqslant n}|R_p|\geqslant3x\right\}}Ainsi, {A} est l’ensemble des {\omega\in\Omega} tels que {\max_{1\leqslant p\leqslant n}|R_p(\omega)|\geqslant3x}. Dans le cas où {n\geqslant2}, définissons de plus les événements :
{A_1=\{|R_1|\geqslant3x\}}et, pour {p\in\llbracket2,n\rrbracket} :
{A_p=\left\{\max_{1\leqslant i\leqslant p-1}|R_i|\lt3x\right\}\cap\{|R_p|\geqslant3x\}}

II Étude d’une suite de fonctions

Pour tout {n\in\mathbb{N}^\star} et tout {k\in\llbracket0,n\rrbracket}, on pose :
{x_{n,k}=-\sqrt n+\dfrac{2k}{\sqrt n}}De plus, on définit la fonction {B_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} par les conditions suivantes :

• {B_n(x)=0} pour {x\in]-\infty,-\sqrt n-1/\sqrt n[} ;
• pour {k\in\llbracket0,n\rrbracket} et {x\in[x_{n,k}-1/\sqrt n,x_{n,k}+1/\sqrt n[},
  {B_n(x)=\dfrac{\sqrt n}2\binom nk\dfrac1{2^n}}
• {B_n(x)=0} pour {x\in[\sqrt n+1/\sqrt n,+\infty[}.

L’objectif de cette partie est de montrer que {(B_n)} converge uniformément sur {\mathbb{R}} vers {\varphi}, autrement dit :
{\Delta_n=\sup_{x\in\mathbb{R}}|B_n(x)-\varphi(x)|\longrightarrow0}L’usage d’une figure pour appréhender la problématique de cette partie sera vivement apprécié.
II.A –

Dans la suite de cette partie, on fixe {\varepsilon>0}. La limite {\varphi(x)\longrightarrow0} lorsque {x\to+\infty} assure l’existence d’un nombre {\ell\in\mathbb{R}^+} tel que {\varphi(\ell)\leqslant\varepsilon/2}.
II.B – Dans cette sous-partie, on va montrer :
{\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in[0,\ell]}|B_n(x)-\varphi(x)|=0}On introduit pour cela l’ensemble :
{I_n=\{k\in\llbracket0,n\rrbracket:x_{n,k}\in[0,\ell+1]\}}dont on peut vérifier que c’est un intervalle d’entiers. Dans la suite de cette sous-partie, on suppose que {n} et {k} varient de sorte que {k\in I_n}. La notation {I_n} désigne désormais cet ensemble, et non l’intégrale de la partie I.

II.C –

Applications

Soit {(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé et {X} une variable aléatoire discrète telle que {\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=1)=1/2}. On considère une suite {(X_i)_{i\in\mathbb{N}^\star}} de variables aléatoires discrètes sur cet espace, mutuellement indépendantes et de même loi que {X}. On définit :
{S_0=0,\qquad S_n=\sum_{i=1}^nX_i\quad(n\geqslant1)}On dit que {(S_n)_{n\in\mathbb{N}}} est une marche aléatoire symétrique sur {\mathbb{Z}}. On admettra que pour tout {n\geqslant1}, {S_n} est une variable aléatoire discrète.

III.A – Théorème central limite
Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}} et {(f_n)_{n\in\mathbb{N}^\star}} une suite de fonctions continues par morceaux sur {I} qui converge uniformément sur {I} vers une fonction {f} également continue par morceaux sur {I}.

On pose, pour tout {i\in\mathbb{N}^\star}, {Y_i=(X_i+1)/2} et {T_n=\sum_{i=1}^nY_i}.

Considérons un couple {(u,v)} de réels tel que {u\lt v}, et notons :
{J_n=\left\{j\in\llbracket0,n\rrbracket:\dfrac{n+u\sqrt n}2\leqslant j\leqslant\dfrac{n+v\sqrt n}2\right\}}
III.B – Critère de tension
Dans cette dernière sous-partie, on fixe {\varepsilon\in]0,1[}.