On cherche à montrer {n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n}.
Q 10. Pour {n\geq1}, déduire de Q9 que {\begin{array}{rcl}n!&=&\displaystyle\sqrt n(n/e)^n\\[8pt]&&\displaystyle\times\int_{-\sqrt n}^{+\infty}\left(1+\frac y{\sqrt n}\right)^ne^{-y\sqrt n}\,dy.\end{array}}
On fixe {p\in]0,1[} et {q=1-p}. Les variables {(X_k)_{k\geq1}} sont indépendantes, de même loi, avec {\mathbb P(X_k=1)=p} et {\mathbb P(X_k=-1)=q}.
On pose {S_0=0} et {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k}. On admet que les sommes de même longueur prises dans deux blocs de variables de même loi ont même loi.
Un retour en zéro ne peut avoir lieu qu’à un instant pair. On définit {a_0=1}, {b_0=0} et, pour {n\geq1}, {\begin{array}{rcl}a_n&=&\mathbb P(S_{2n}=0),\\[8pt]b_n&=&\mathbb P(S_1\ne0,\ldots,S_{2n-1}\ne0,S_{2n}=0).\end{array}}Enfin, {A(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^{2n}} et {B(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}b_nx^{2n}} lorsque ces séries convergent.
III.A
Q 23. Donner la loi de {(X_1+1)/2}, puis calculer l’espérance et la variance de {S_n} à l’aide d’une loi binomiale.
On suppose désormais {p=q=1/2}. Chaque suite de {m} pas dans {\{-1,1\}} a probabilité {2^{-m}}.
L’énoncé définit {T_n=\max\{0\leq k\leq2n:S_k=0\},}dernière visite en zéro pendant les {2n} premiers pas, et admet qu’il s’agit d’une variable aléatoire discrète. Précision de notation. Les questions Q41, Q42 et Q46 écrivent ensuite {T_{2n}} pour cette même variable. C’est une incohérence d’indice : avec la définition ci-dessus, il faut y lire {T_n}. Les questions sont reprises ci-dessous avec cette correction explicite.
On note {\lfloor x\rfloor} la partie entière de {x}.
IV.A — Chemins
Un chemin de longueur {m} relie successivement les points {(0,S_0),\ldots,(m,S_m)}. La figure illustrative du sujet correspond aux ordonnées {0,-1,0,1,2,1,0,1} pour les instants de {0} à {7}.
Dans les questions de réflexion, les hauteurs initiale et finale {x,y} sont des entiers strictement positifs.
IV.A.1
On note {N_{n,x}} le nombre de chemins de {(0,0)} à {(n,x)}.
Q 34. Montrer que {N_{n,x}=\binom n{(n+x)/2}} si {|x|\leq n} et {n-x} est pair, et que {N_{n,x}=0} sinon.
Q 37. Montrer que le nombre de chemins de {(0,x)} à {(n,y)} rencontrant au moins une fois l’axe d’ordonnée {0} est égal au nombre de chemins quelconques de {(0,-x)} à {(n,y)}.
Q 39. Pour {k\geq1}, montrer que {\begin{array}{l}\mathbb P(S_1>0,\ldots,S_{2n-1}>0,S_{2n}=2k)\\[8pt]\quad=\frac12\bigl(\mathbb P(S_{2n-1}=2k-1)\\[8pt]\quad\quad-\mathbb P(S_{2n-1}=2k+1)\bigr).\end{array}}
Q 40. En sommant sur les valeurs positives de {S_{2n}}, montrer que {\mathbb P(S_1>0,\ldots,S_{2n}>0)=\tfrac12\mathbb P(S_{2n}=0),}puis que {\mathbb P(S_1\ne0,\ldots,S_{2n}\ne0)=\mathbb P(S_{2n}=0).}
Q 43. Soit {f(t)=1/\sqrt{t(1-t)}} sur {[\alpha,\beta]}, prolongée par la constante {f(\alpha)} sur {[0,\alpha[} et par {f(\beta)} sur {]\beta,1]}. Montrer, grâce à des sommes de Riemann, que {\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=\lfloor n\alpha\rfloor+1}^{\lfloor n\beta\rfloor}\frac1{\sqrt{k}\sqrt{n-k}}\\[8pt]\quad=\displaystyle\int_\alpha^\beta\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}.\end{array}}
Q 44. À l’aide de II, montrer qu’il existe une suite {\varepsilon_n\to1} telle que {\binom{2n}{n}=\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\left(1-\frac{\varepsilon_n}{8n}\right).}
Q 45. Montrer que la différence des deux sommes suivantes tend vers zéro : {\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{k=\lfloor n\alpha\rfloor+1}^{\lfloor n\beta\rfloor}\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k}4^{-n},\\[8pt]\displaystyle\frac1\pi\sum_{k=\lfloor n\alpha\rfloor+1}^{\lfloor n\beta\rfloor}\frac1{\sqrt{k(n-k)}}.\end{array}}
Q 46. Montrer, avec la correction d’indice signalée, que {\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mathbb P\left(\frac{T_n}{2n}\in[\alpha,\beta]\right)\\[8pt]\quad=\displaystyle\frac2\pi\left(\arcsin\sqrt\beta-\arcsin\sqrt\alpha\right).\end{array}}
L’énoncé souligne l’interprétation de la loi de l’arcsinus : pour une longue marche symétrique, la probabilité que la dernière égalité ait lieu avant la moitié de la période tend vers {1/2}. Cela correspond, dans un jeu équilibré, à la possibilité qu’un même joueur reste en tête pendant toute la seconde moitié de la période.