2024-Ens-MpC-corrigé

Écoles normales supérieures 2024 — Mathématiques C — MP, MPI

Notations

Soit {E} une partie de {\mathbb C}.
À toute suite {(u_n)_{n\in\mathbb N}} à valeurs dans {E}, ce que l’on note {(u_n)_{n\in\mathbb N}\in E^{\mathbb N}}, on associe la suite {(\sigma_n)_{n\in\mathbb N}} des sommes partielles de Cesàro définie par :
{\sigma_n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n u_k\qquad(n\geq0),}et la suite {(e_n)_{n\in\mathbb N}} des écarts définie par {e_n=u_{n+1}-u_n} pour {n\geq0}.
À toute série {\sum\limits_{n\geq0}a_n} avec {(a_n)\in E^{\mathbb N}}, on associe la suite des sommes partielles :
{S_n=\sum_{k=0}^n a_k\qquad(n\geq0).}Si la série converge, on note {S} sa somme et {(R_n)} la suite de ses restes :
{\begin{array}{l}S=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=\lim_{N\to+\infty}S_N,\\[4pt]R_n=S-S_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k.\end{array}}À toute série entière {\sum\limits_{n\geq0}a_nz^n}, de rayon de convergence {R>0}, on associe sa somme {f}, définie sur {D(0,R)=\{z\in\mathbb C:|z|\lt R\}} par :
{f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n.}Étant donné un intervalle {I} de {\mathbb R}, {\mathcal C^0(I)} désigne l’espace des fonctions continues de {I} dans {\mathbb R} et {\mathcal C_b^0(I)} celui des fonctions continues et bornées de {I} dans {\mathbb R}.

1. Lemme de Cesàro

Le but de cette partie est de démontrer le lemme de Cesàro, voir question 1, d’en proposer des applications et d’établir certaines variantes puis des réciproques partielles.

1. Soit {(u_n)\in\mathbb C^{\mathbb N}} et {\ell\in\mathbb C}. Démontrer que :
{u_n\longrightarrow\ell\ \Longrightarrow\ \sigma_n\longrightarrow\ell.}C’est le lemme (Cesàro).
Si {(u_n)} est à valeurs réelles, démontrer que le résultat subsiste si {\ell=+\infty} ou {\ell=-\infty}.

Applications

2. En utilisant (Cesàro), calculer la limite de la suite {(v_n)_{n\geq1}} définie par {v_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac1{kn}}. Puis, à l’aide d’une comparaison série-intégrale, donner un équivalent de {(v_n)}.
3. Soit {(u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}} et {\alpha\in\mathbb R^*}. On suppose que {e_n\to\alpha}. En utilisant (Cesàro), donner un équivalent de {(u_n)}. Retrouver ce résultat par un théorème de comparaison de séries à termes positifs.
4. Soit {(u_n)\in]0,+\infty[^{\mathbb N}} et {\ell\in]0,+\infty[}. On suppose que {u_{n+1}/u_n\to\ell}. Démontrer que {\sqrt[n]{u_n}\to\ell}.
Démontrer que le résultat subsiste si {\ell=0} ou {\ell=+\infty}. En déduire les limites de {\sqrt[n]{n!}} et de {\sqrt[n]{n^n/n!}}.
5. Soit {(a_n),(b_n)\in\mathbb C^{\mathbb N}} et {a,b\in\mathbb C}. On suppose que {a_n\to a} et {b_n\to b}. Démontrer que :
{\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}=ab.}
6. Soit {\sum\limits_{n\geq0}a_n} et {\sum\limits_{n\geq0}b_n} deux séries de nombres complexes, convergentes de sommes respectives {A} et {B}. On pose :
{c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k},\qquad C_n=\sum_{k=0}^n c_k.}Démontrer que :
{\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=0}^n C_k=AB.\qquad\text{(Cauchy)}}

Réciproques partielles

7. Vérifier que la réciproque de (Cesàro) n’est pas toujours vraie en exhibant une suite réelle {(u_n)} qui ne converge pas et telle que {(\sigma_n)} converge dans {\mathbb R}.
8. Soit {(u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}} et {\ell\in\mathbb R}. Démontrer que :
{\left.\begin{array}{l}\sigma_n\longrightarrow\ell,\\[4pt](u_n)\text{ monotone}\end{array}\right\}\Longrightarrow u_n\longrightarrow\ell.}Démontrer que le résultat subsiste pour {\ell=+\infty} ou {\ell=-\infty}.
9. Soit {(u_n)\in\mathbb C^{\mathbb N}} et {\ell\in\mathbb C}. Démontrer que :
{\begin{array}{c}\sigma_n\longrightarrow\ell\quad\text{et}\quad e_n=o(1/n)\\[4pt]\Longrightarrow\quad u_n\longrightarrow\ell.\end{array}}C’est le résultat (Hardy faible).
Indication : on pourra démontrer que, pour tout {n\geq1}, {\sum\limits_{k=0}^n ke_k=nu_{n+1}-\sum\limits_{k=1}^n u_k}.

10. Soit {(u_n)\in\mathbb C^{\mathbb N}} et {\ell\in\mathbb C}. Le but de cette question est de démontrer que :
{\begin{array}{c}\sigma_n\longrightarrow\ell\quad\text{et}\quad e_n=O(1/n)\\[4pt]\Longrightarrow\quad u_n\longrightarrow\ell.\end{array}}C’est le résultat (Hardy fort).
On suppose que {\sigma_n\to\ell} et {e_n=O(1/n)}.

10. (a) Soit {0\leq n\lt m}. Démontrer que :
{\sum_{k=n+1}^m u_k-(m-n)u_n=\sum_{j=n}^{m-1}(m-j)e_j.}
10. (b) En déduire qu’il existe une constante {C>0} telle que, pour tous {2\leq n\lt m} :
{\begin{array}{l}\displaystyle\left|\frac{(m+1)\sigma_m-(n+1)\sigma_n}{m-n}-u_n\right|\\[4pt]\qquad\leq C\ln\left(\frac{m-1}{n-1}\right),\end{array}}et :
{\begin{array}{rl}|u_n-\ell|&\leq C\ln\left(\dfrac{m-1}{n-1}\right)\\[4pt]&\quad+\dfrac{m+1}{m-n}(|\sigma_m-\ell|+|\sigma_n-\ell|).\end{array}}
10. (c) En déduire (Hardy fort). Indication : on pourra prendre {m=1+\lfloor\alpha n\rfloor} avec un paramètre {\alpha>1} à choisir, où {\lfloor x\rfloor} désigne la partie entière de {x\in\mathbb R}.

2. Théorème d’Abel

Le but de cette partie est de démontrer le théorème d’Abel, voir question 1, d’en proposer des applications et d’établir certaines variantes et des réciproques partielles.
1. Soit {\sum\limits_{n\geq0}a_nz^n} une série entière de rayon de convergence {R\geq1} et de somme {f}. Pour {\theta_0\in[0,\pi/2[}, on note {\Delta_{\theta_0}} l’ensemble des {z\in\mathbb C} tels que {|z|\lt1} et :
{\begin{array}{l}z=1-\rho e^{i\theta},\\[4pt]\rho>0,\qquad\theta\in[-\theta_0,\theta_0].\end{array}}Le but de cette question est de démontrer que :
{\begin{array}{c}\displaystyle\sum_{n\geq0}a_n\text{ converge}\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\lim_{\substack{z\to1\\[4pt]z\in\Delta_{\theta_0}}}f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n.\end{array}}C’est le théorème (Abel).

1. (a) Démontrer (Abel) pour {R>1}.

À partir de maintenant, on suppose que {R=1} et que {\sum\limits_{n\geq0}a_n} converge, et on se donne un {\theta_0\in[0,\pi/2[}.

1. (b) Démontrer que, pour tous {N\in\mathbb N^*} et {z\in\mathbb C} avec {|z|\lt1} :
{\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n=0}^N a_nz^n-S_N\\[4pt]\quad=(z-1)\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}R_nz^n-R_N(z^N-1).\end{array}}
1. (c) En déduire que pour tout {z\in\mathbb C} avec {|z|\lt1}{f(z)-S=(z-1)\sum_{n=0}^{+\infty}R_nz^n.}
1. (d) Soit {\varepsilon>0}. Démontrer qu’il existe {N_0\in\mathbb N} tel que, pour tout {z\in\mathbb C} avec {|z|\lt1} :
{|f(z)-S|\leq|z-1|\sum_{n=0}^{N_0}|R_n|+\varepsilon\frac{|z-1|}{1-|z|}.}
1. (e) Démontrer qu’il existe {\rho(\theta_0)>0} tel que, pour tout {z\in\Delta_{\theta_0}} de la forme {z=1-\rho e^{i\theta}} avec {0\lt\rho\leq\rho(\theta_0)} :
{\frac{|z-1|}{1-|z|}\leq\frac2{\cos\theta_0}.}En déduire (Abel).
2. Démontrer que :
{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4.}
3. Exhiber une série entière {\sum\limits_{n\geq0}a_nz^n} de rayon de convergence {1} et de somme {f}, telle que {f(z)} converge quand {z\to1}, {|z|\lt1}, et telle que la série {\sum\limits_{n\geq0}a_n} ne converge pas.

4. Soit {\sum\limits_{n\geq0}a_nz^n} une série entière de rayon de convergence {1} et de somme {f}. Soit {S\in\mathbb C}. Le but de cette question est de démontrer que :
{\begin{array}{c}\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=S\quad\text{et}\quad a_n=o(1/n)\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\sum_{n\geq0}a_n\text{ converge, de somme }S.\end{array}}C’est le théorème (Taubérien faible). Dans la suite de cette question, on suppose que {f(x)\to S} lorsque {x\to1^-} et que {a_n=o(1/n)}.

4. (a) Démontrer que, pour tous {n\in\mathbb N^*} et {x\in]0,1[} :
{|S_n\!-\!f(x)|\leq(1\!-\!x)\sum_{k=1}^n k|a_k|\!+\!\frac{\sup_{k>n}(k|a_k|)}{n(1\!-\!x)}}
4. (b) En déduire (Taubérien faible) en spécifiant {x=x_n=1-1/n} pour {n\in\mathbb N^*}.

5. Soit {\sum\limits_{n\geq0}a_nz^n} une série entière de rayon de convergence {1} et de somme {f}. Soit {S\in\mathbb C}. Le but de cette question est de démontrer que :
{\begin{array}{c}\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=S\quad\text{et}\quad a_n=O(1/n)\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\sum_{n\geq0}a_n\text{ converge, de somme }S.\end{array}}C’est le théorème (Taubérien fort).

5. (a) Démontrer que, sans perte de généralité, on peut supposer que {S=0}.

On suppose désormais que {f(x)\to S} lorsque {x\to1^-} et que {a_n=O(1/n)}, avec {S=0}.

5. (b) On définit {\Theta} comme l’ensemble des fonctions {\theta:[0,1]\to\mathbb R} vérifiant les deux conditions :
{\begin{array}{l}\text{pour tout }x\in[0,1[,\quad\sum\limits_{n\geq0}a_n\theta(x^n)\text{ converge},\\[4pt]\displaystyle\lim_{x\to1^-}\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\theta(x^n)=0.\end{array}}Démontrer que {\Theta} est un espace vectoriel sur {\mathbb R}.
5. (c) Soit {P\in\mathbb R[X]} tel que {P(0)=0}. Démontrer que {P\in\Theta}.
5. (d) Démontrer que, pour tout {P\in\mathbb R[X]} :
{\lim_{x\to1^-,\ x\in\mathbb R}(1-x)\sum_{n=0}^{+\infty}x^nP(x^n)=\int_0^1P(t)\,\mathrm dt.}

On définit la fonction {g:\mathbb R\to\mathbb R} par :
{g(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&\text{si }x\in[1/2,1],\\[4pt]0&\text{sinon}.\end{array}\right.}

5. (e) Démontrer que, pour établir (Taubérien fort), il suffit de démontrer que {g\in\Theta}.
5. (f) Soit :
{h(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1&\text{si }x=0,\\[4pt]\dfrac{g(x)-x}{x(1-x)}&\text{si }0\lt x\lt1,\\[4pt]1&\text{si }x=1.\end{array}\right.}Étant donné {\varepsilon>0}, démontrer qu’il existe {s_1,s_2\in\mathcal C^0([0,1])} vérifiant :
{s_1\leq h\leq s_2,\qquad\int_0^1(s_2(x)-s_1(x))\,\mathrm dx\leq\varepsilon.}Représenter graphiquement {h} et deux telles fonctions {s_1,s_2}.

À partir de maintenant, {\varepsilon>0}, {s_1} et {s_2} sont fixés.

5. (g) Démontrer qu’il existe {T_1,T_2\in\mathbb R[X]} tels que :
{\begin{array}{l}\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}|T_1(x)-s_1(x)|\leq\varepsilon,\\[4pt]\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}|T_2(x)-s_2(x)|\leq\varepsilon.\end{array}}

On pose, pour tout {x\in[0,1]} :
{\begin{array}{l}P_1(x)=x+x(1-x)(T_1(x)-\varepsilon),\\[4pt]P_2(x)=x+x(1-x)(T_2(x)+\varepsilon),\\[4pt]Q(x)=\dfrac{P_2(x)-P_1(x)}{x(1-x)}.\end{array}}

5. (h) Démontrer que :
{\begin{array}{l}P_1(0)=P_2(0)=0,\\[4pt]P_1(1)=P_2(1)=1,\\[4pt]P_1\leq g\leq P_2,\qquad0\leq\displaystyle\int_0^1Q(x)\,\mathrm dx\leq5\varepsilon.\end{array}}
5. (i) Démontrer qu’il existe {M>0} tel que, pour tout {x\in]0,1[} :
{\begin{array}{l}\left|\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_ng(x^n)\\[4pt]\quad-\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nP_1(x^n)\end{array}\right|\\[4pt]\qquad\leq M(1-x)\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}x^nQ(x^n).\end{array}}
5. (j) Conclure.

3. Variantes continues du lemme de Cesàro et du théorème d’Abel

Le but de cette partie est d’étudier des versions continues du lemme de Cesàro, du théorème d’Abel et de leurs réciproques partielles.

1. Soit {f\in\mathcal C^0([0,+\infty[)} et {\ell\in\mathbb R}. Démontrer que :
Les limites sont prises lorsque {x\to+\infty} :
{\begin{array}{c}f(x)\longrightarrow\ell\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\frac1x\int_0^x f(t)\,\mathrm dt\longrightarrow\ell.\end{array}}
2. À l’aide d’un contre-exemple, démontrer que la réciproque du résultat de la question 1 est fausse.
3. Soit {f\in\mathcal C^0([0,+\infty[)} et {\ell\in\mathbb R}. Démontrer que :
Les limites sont prises lorsque {x\to+\infty} :
{\begin{array}{c}f(x+1)-f(x)\longrightarrow\ell\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\dfrac{f(x)}x\longrightarrow\ell.\end{array}}
4. Soit {f\in\mathcal C_b^0([0,+\infty[)}. On définit sa transformée de Laplace par :
{\mathcal L(f)(t)=\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,\mathrm dx\qquad(t>0).}Démontrer que {\mathcal L(f)} est bien définie et de classe {\mathcal C^1} sur {]0,+\infty[}, et exprimer sa dérivée.

5. Soit {f\in\mathcal C_b^0([0,+\infty[)}. Le but de cette question est de démontrer que :
{\begin{array}{c}\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx\text{ converge}\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\lim_{t\to0^+}\mathcal L(f)(t)=\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx.\end{array}}On suppose que {\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx} converge.

5. (a) Démontrer que la fonction :
{F(x)=\int_x^{+\infty}f(t)\,\mathrm dt\qquad(x\geq0)}est bien définie, continue et bornée sur {[0,+\infty[}, de classe {\mathcal C^1} sur {]0,+\infty[} et vérifie {F'=-f}.
5. (b) Démontrer que {\lim\limits_{t\to0^+}\mathcal L(f)(t)=\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx} par une intégration par parties.
6. Démontrer que :
{\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm dx=\frac\pi2.}
7. Soit {f\in\mathcal C_b^0([0,+\infty[)} et {S\in\mathbb R}. Démontrer que :
{\begin{array}{c}\displaystyle\lim_{t\to0^+}\mathcal L(f)(t)=S,\\[4pt]f(t)=O(1/t)\quad(t\to+\infty)\\[4pt]\Downarrow\\[4pt]\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx\text{ converge et vaut }S.\end{array}}Pour cela, en utilisant les notations de la question 5 de la section 2, on pourra démontrer qu’il existe {M>0} et {A>0} tels que, pour tout {t>0} :
{\begin{array}{l}\left|\begin{array}{l}\displaystyle\int_A^{+\infty}f(x)g(e^{-tx})\,\mathrm dx\\[4pt]\quad-\displaystyle\int_A^{+\infty}f(x)P_1(e^{-tx})\,\mathrm dx\end{array}\right|\\[4pt]\quad\leq M\displaystyle\int_A^{+\infty}Q(e^{-tx})e^{-tx}\frac{1-e^{-tx}}x\,\mathrm dx\\[4pt]\quad\leq M\displaystyle\int_0^1Q(u)\,\mathrm du.\end{array}}