Durée : deux heures. Calculatrice autorisée, documents interdits.
On étudie la transformation de Fourier et son inversion. Pour une fonction {f:\mathbb R\to\mathbb R} ou {\mathbb C}, continue par morceaux et intégrable, on définit {\begin{array}{rcl}Tf(t)&=&\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2i\pi tu}f(u)\,du,\\[8pt]\overline T f(t)&=&\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{2i\pi tu}f(u)\,du\\[8pt]&=&Tf(-t).\end{array}}La notation {\overline T} désigne ici l’opérateur à exponentielle de signe opposé.
1°) Un premier exemple de transformée de Fourier
On pose {f(u)=e^{-\pi u^2}} et {F(t)=Tf(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi u^2}e^{-2i\pi tu}\,du.}
1°) a) Établir que {F} est définie et de classe {\mathcal C^1} sur {\mathbb R}, et préciser {F'(t)}.
2°) b) Déterminer {Tg_n}, vérifier qu’elle est à valeurs positives et préciser, pour {\alpha>0}, {\lim\limits_{n\to+\infty}\sup_{|t|\geq\alpha}Tg_n(t)}.
2°) c) On note {\int_{|t|\geq\alpha}} la somme des intégrales sur {]-\infty,-\alpha]} et {[\alpha,+\infty[}. Vérifier que {\int_{-\infty}^{+\infty}Tg_n(t)\,dt=1} et calculer {\lim\limits_{n\to+\infty}\int_{|t|\geq\alpha}Tg_n(t)\,dt} pour {\alpha>0}.
3°) Premières propriétés de la transformation de Fourier
On suppose {f} continue par morceaux et intégrable sur {\mathbb R}, et {g} continue, bornée et intégrable sur {\mathbb R}.
On note {\|f\|_1=\int_{\mathbb R}|f(t)|\,dt} et {\|g\|_\infty=\sup_{x\in\mathbb R}|g(x)|}.
3°) a) Établir que {Tf} est définie et continue sur {\mathbb R}, et bornée par {\|f\|_1}.
3°) b) Justifier, pour tout réel {x}, l’existence des intégrales {\begin{array}{rcl}A(x)&=&\displaystyle\int_{-\infty}^x Tf(t)g(t)\,dt,\\[8pt]B(x)&=&\displaystyle\int_{\mathbb R}f(t)\left(\int_{-\infty}^x e^{-2i\pi tu}g(u)\,du\right)dt.\end{array}}
On suppose {f} continue par morceaux et intégrable sur {\mathbb R}, et {Tf} également intégrable.
4°) a) Pour {x\in\mathbb R} et {n\geq1}, poser {g(u)=e^{2i\pi xu}g_n(u)} et utiliser 3°) e) pour établir {\begin{array}{l}\displaystyle\int_{\mathbb R}Tf(t)e^{2i\pi xt}g_n(t)\,dt\\[8pt]\quad=\displaystyle\int_{\mathbb R}f(x+t)Tg_n(t)\,dt.\end{array}}En déduire que ce membre vaut {f(x)+\int_{\mathbb R}(f(x+t)-f(x))Tg_n(t)\,dt.}
On suppose désormais que {x} est un point de continuité de {f}. Pour {\varepsilon>0}, on choisit {\alpha>0} tel que {|t|\leq\alpha} implique {|f(x+t)-f(x)|\leq\varepsilon}.
4°) c) En découpant l’intégrale, établir {\begin{array}{l}\displaystyle\left|\int_{\mathbb R}(f(x+t)-f(x))Tg_n(t)\,dt\right|\\[8pt]\quad\leq\varepsilon+\left(\displaystyle\sup_{|t|\geq\alpha}Tg_n(t)\right)\|f\|_1\\[8pt]\quad\quad+|f(x)|\displaystyle\int_{|t|\geq\alpha}Tg_n(t)\,dt.\end{array}}En déduire la limite de l’intégrale lorsque {n\to+\infty}.
5°) b) Soit {a\in\mathbb C} de partie réelle strictement positive. Pour {n\in\mathbb N}, on définit {h_n(u)=u^ne^{-au}/n!} si {u\geq0}, et {h_n(u)=0} si {u\lt0}. Déterminer {Th_0}, puis {Th_n}.