2025-Centrale-Pc1-Corrigé

Centrale–Supélec — 2025 — Mathématiques 1 — PC

Un principe d’incertitude matriciel

Pour un endomorphisme {\varphi} d’un espace complexe {E}, on note {\operatorname{VP}(\varphi)} l’ensemble de ses valeurs propres, et {E_\lambda(\varphi)=\ker(\varphi-\lambda\mathrm{Id})}.

Sur {\mathbb R^N}, {\|x\|=(\sum\limits_{i=1}^Nx_i^2)^{1/2}} est la norme euclidienne. On note {\mathcal M_N(\mathbb R)} l’espace des matrices carrées réelles, {I_N} l’identité, {\operatorname{Sp}(A)} le spectre d’une matrice et {\operatorname{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_N)} la matrice diagonale correspondante.

Les ensembles {\mathcal S_N}, {\mathcal S_N^+} et {\mathcal S_N^{++}} désignent les matrices symétriques, positives et définies positives.

Partie A — Autour du principe d’incertitude d’Heisenberg

Dans cette partie, {E=C^\infty(\mathbb R,\mathbb C)}.

I. Valeurs propres de l’opérateur dérivée seconde

Q 1. Pour {f\in E}, on pose {\ell(f)=-f''}. Montrer que {\ell} est un endomorphisme de {E}.
Q 2. Montrer {\mathbb R_+\subset\operatorname{VP}(\ell)} et donner une base de {E_\lambda(\ell)} pour chaque {\lambda\geq0}.

II. Cas des fonctions gaussiennes

Pour {a>0}, on pose {G_a(t)=e^{-at^2/2}}. On admet {\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(t)\,dt=\sqrt{\frac{2\pi}a}.}On fixe {a>0}.

Q 3. Montrer que {\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(t)e^{-i\xi t}\,dt} converge pour tout {\xi\in\mathbb R}.

On définit {\widehat G_a(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(t)e^{-i\xi t}\,dt}.

Q 4. Démontrer que {\widehat G_a} est de classe {C^1}.
Q 5. Montrer que {\widehat G_a} satisfait une équation différentielle du premier ordre, puis en déduire {\widehat G_a=\sqrt{2\pi/a}\,G_{1/a}}.
Q 6. Montrer que les intégrales de {G_a^2} et de {u^2G_a(u)^2} sur {\mathbb R} convergent et calculer leurs valeurs.

On définit les quantités positives par {\begin{array}{rl}\sigma_F^2(G_a)&=\dfrac{\int_{-\infty}^{+\infty}u^2\widehat G_a(u)^2\,du}{2\pi\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(u)^2\,du},\\[16pt]\sigma_T^2(G_a)&=\dfrac{\int_{-\infty}^{+\infty}u^2G_a(u)^2\,du}{\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(u)^2\,du}.\end{array}}

Q 7. Montrer {\sigma_T^2(G_a)=\gamma(\sigma_F^2(G_a))}, où {\gamma(x)=1/(4x)}.

Pour les fonctions non nulles d’une classe {\mathcal S}, l’inégalité d’Heisenberg affirme {\sigma_T^2(f)\sigma_F^2(f)\geq1/4}. Ces quantités représentent les étalements temporel et fréquentiel d’un signal. Les multiples des gaussiennes sont les seuls cas d’égalité. Ainsi {\gamma(x)=\min_{f\in\mathcal S\setminus\{0\},\ \sigma_F^2(f)=x}\sigma_T^2(f)} pour {x>0}.

La suite établit un analogue pour des signaux discrets, éléments de {\mathbb R^N}, relativement à une matrice donnée.

Partie B — Laplacien d’une matrice

On suppose {N\geq2}. L’ensemble {\mathcal G} est celui des matrices symétriques de taille {N}, à coefficients dans {\{0,1\}} et de diagonale nulle. Pour {A=(a_{ij})\in\mathcal G}, on pose {\begin{array}{rl}\delta(A)&\displaystyle=\operatorname{diag}\left(\sum_{k=1}^Na_{1k},\ldots,\sum_{k=1}^Na_{Nk}\right)\\[8pt]&\displaystyle L_A=\delta(A)-A\end{array}}I. Étude d’un élément de {\mathcal G}

On considère {B=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\[8pt]0&0&1&0\\[8pt]0&1&0&0\\[8pt]1&0&0&0\end{pmatrix}.}

Q 8. Déterminer {L_B} et son rang.
Q 9. Calculer {L_B^2}, en déduire son spectre et les dimensions de ses espaces propres.
Q 10. La matrice {L_B} appartient-elle à {\mathcal S_N^+} ? À {\mathcal S_N^{++}} ?

II. Étude du noyau

Soit {A\in\mathcal G}. On note {\mathbf1_N} le vecteur dont toutes les coordonnées valent {1}.

Q 11. Montrer {\operatorname{Vect}(\mathbf1_N)\subset\ker L_A}. A-t-on toujours égalité ?

On identifie un vecteur {x=(x_1,\ldots,x_N)} à une matrice colonne, et {x^T} à la ligne transposée.

Q 12. Montrer {\sum\limits_{i,j=1}^Na_{ij}x_i^2=x^T\delta(A)x}.
Q 13. En déduire {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{1\leq i\lt j\leq N}a_{ij}(x_i\!-\!x_j)^2&=\displaystyle\frac12\sum_{i,j=1}^Na_{ij}(x_i\!-\!x_j)^2\\[14pt]&=x^TL_Ax.\end{array}\;\tag{*}}
Q 14. En déduire que {L_A\in\mathcal S_N^+}.
Q 15. On dit que {A} vérifie {(\Gamma)} si, pour tous {i\ne j}, il existe des indices distincts {i_1=i,\ldots,i_n=j}, {n\geq2}, tels que {a_{i_k,i_{k+1}}=1}.

Sous cette hypothèse, montrer {\ker L_A=\operatorname{Vect}(\mathbf1_N)}.

Partie C — Région de faisabilité, courbe d’incertitude

Dans les parties C et D, {N\geq4} et {A} est la matrice de l’étoile : {a_{1j}=a_{j1}=1} pour {2\leq j\leq N}, tous les autres coefficients étant nuls.

I. Définitions de {\sigma_M^2} et {\sigma_S^2}

Q 16. Montrer que {A\in\mathcal G} et vérifie {(\Gamma)}.
Q 17. Montrer que l’on peut lister les valeurs propres avec multiplicité sous la forme {0=\lambda_1\lt \lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_N}, toutes positives ou nulles.
Q 18. Déterminer {L_A} et {\operatorname{rg}(L_A-I_N)}, puis son spectre.

Vérifier {\dim E_{\lambda_N}(L_A)=1}.

On pose {D=\operatorname{diag}(0,1,\ldots,1)} et, pour {x\ne0}, {\sigma_M^2(x)=\frac{x^TDx}{\|x\|^2},\quad\sigma_S^2(x)=\frac{x^TL_Ax}{\|x\|^2}.}

Q 19. Montrer {\lambda_1\leq\sigma_S^2(x)\leq\lambda_N}, l’invariance {\sigma_S^2(\mu x)=\sigma_S^2(x)} pour {\mu\ne0}, et l’équivalence {\sigma_S^2(x)=\lambda_1\Longleftrightarrow x\in E_{\lambda_1}(L_A)}.

On admet l’équivalence analogue pour la valeur maximale {\lambda_N}.

II. Région de faisabilité

On définit {\mathcal R\!=\!\{(s,m)\!\in\!\mathbb R_+^2,\,\exists x\ne0,\,\sigma_S^2(x)\!=\!s,\,\sigma_M^2(x)\!=\!m\}}La figure illustre cette région pour une valeur de {N}.

Q 20. Montrer {\mathcal R\subset[0,\lambda_N]\times[0,1]}.
Q 21. Si {\sigma_S^2(x)=0}, montrer {\sigma_M^2(x)=(N-1)/N}. En déduire l’intersection de {\mathcal R} avec {s=0}.
Q 22. Déterminer de même les intersections avec les droites {s=\lambda_N} et {m=0}.

III. La courbe d’incertitude {\gamma_-}

Q 23. Soient {e_1\in E_{\lambda_1}(L_A)} et {e_N\in E_{\lambda_N}(L_A)} unitaires, et {x_t=(1-t)e_1+te_N} pour {t\in[0,1]}. Justifier que {t\mapsto\sigma_S^2(x_t)} est définie et montrer que tout {s\in[0,\lambda_N]} est atteint.
Q 24. En déduire l’existence de {\min_{\|x\|=1,\ \sigma_S^2(x)=s}\sigma_M^2(x)} pour tout {s\in[0,\lambda_N]}.

On définit ainsi {\gamma_-:[0,\lambda_N]\to\mathbb R_+} par {\gamma_-(s)=\min_{\|x\|=1,\ \sigma_S^2(x)=s}\sigma_M^2(x)}.

Q 25. En admettant que {\mathcal R} est convexe, montrer que {\gamma_-} est convexe.

Partie D — Formule explicite pour {\gamma_-}

Pour {\alpha\in\mathbb R}, on pose {M(\alpha)=D-\alpha L_A}, puis {\mu_\alpha^-=\min\operatorname{Sp}(M(\alpha))} et {\mu_\alpha^+=\max\operatorname{Sp}(M(\alpha))}.

Q 26. Pour un vecteur unitaire {y\in E_{\mu_\alpha^-}(M(\alpha))}, montrer {\sigma_M^2(y)=\gamma_-(\sigma_S^2(y))}.

On fixe désormais {\alpha\ne0}.

Q 27. Montrer {\operatorname{rg}(M(\alpha)-(1-\alpha)I_N)=2} et en déduire {\mu_\alpha^-\leq1-\alpha\leq\mu_\alpha^+}.
Q 28. Soient {a\leq b} et {c} réels.

Si, pour tout réel {\lambda}, le trinôme {(x-a)(x-b)+\lambda(x-c)} a des racines réelles, montrer {a\leq c\leq b}.

Q 29. Soit {E_{11}} la matrice ayant pour seul coefficient non nul un {1} en position {(1,1)}, et {N(\lambda)=M(\alpha)-\lambda E_{11}}. Relier leurs polynômes caractéristiques et en déduire {\mu_\alpha^-\lt 1-\alpha\lt \mu_\alpha^+}.
Q 30. Montrer que {V=\{v\in\mathbb R^N:v_1=0,\ \sum\limits_{i=2}^Nv_i=0\}} est un sous-espace et déterminer sa dimension et une base.
Q 31. Montrer {\begin{array}{l}E_{\mu_\alpha^-}(M(\alpha))\oplus E_{\mu_\alpha^+}(M(\alpha))\\[8pt]\quad=\{(x_1,x_2,\ldots,x_2):x_1,x_2\in\mathbb R\}\end{array}}

Pour {\theta\in\mathbb R}, on considère le vecteur unitaire {x(\theta)=\left(\cos\theta,\frac{\sin\theta}{\sqrt{N-1}},\ldots,\frac{\sin\theta}{\sqrt{N-1}}\right).}

Q 32. À l’aide de (*), montrer {\begin{array}{rl}\displaystyle\sigma_S^2(x(\theta))&\displaystyle=\frac N2+\frac{N-2}2\cos(2\theta)\\[8pt]&\displaystyle-\sqrt{N-1}\sin(2\theta)\end{array}}
Q 33. En déduire {\begin{array}{l}-\sin(2\theta)=\\[8pt]\displaystyle\frac{\sigma_S^2(x(\theta))+(N-2)\sigma_M^2(x(\theta))-(N-1)}{\sqrt{N-1}}\end{array}}
Q 34. Montrer {\begin{array}{l}(N-1)(1-2\sigma_M^2(x(\theta)))^2\\[8pt]\quad+\displaystyle\bigl(\sigma_S^2(x(\theta))\!+\!(N\!-\!2)\sigma_M^2(x(\theta))\!-\!(N\!-\!1)\bigr)^2\\[8pt]\quad=N-1\end{array}}
Q 35. En déduire la formule : {\begin{array}{l}\gamma_-(s)=\\[8pt]\!\displaystyle\frac{-s(N\!-\!2)\!+\!N(N\!-\!1)\!-\!2\sqrt{s(N\!-\!1)(N\!-\!s)}}{N^2}\\[8pt]\quad(0\leq s\leq\lambda_N)\end{array}}