2025-Inp-Mp2-Corrigé

CCINP 2025 — Mathématiques 2 — MP

Le sujet comporte un exercice d’informatique, un exercice et un problème de mathématiques.

Exercice 1

Hormis Q3 et Q4, les questions sont indépendantes. Les graphes sont orientés, leurs sommets sont numérotés à partir de {0} et ils sont représentés par dictionnaires d’adjacence.

Le graphe donné en exemple est représenté par

Q 1. Écrire une fonction Python degreMax(d: dict) -> int renvoyant le degré sortant maximal des sommets.

Le graphe inverse possède les mêmes sommets et les mêmes arêtes, parcourues en sens inverse.

Q 2. Représenter le graphe inverse de l’exemple et écrire une fonction Python grapheInv(d: dict) -> dict qui construit son dictionnaire d’adjacence.

Une coloration est donnée par une liste {L}, où {L[s]} est la couleur entière du sommet {s}. Elle est valide si les extrémités de chaque arête ont des couleurs différentes.

Q 3. Écrire une fonction Python colorationValide(d: dict, L: list) -> bool qui teste cette propriété.
Q 4. Donner et justifier la complexité dans le pire des cas en fonction du nombre {N} de sommets et du nombre {M} d’arêtes.

On considère les tables FILMS et LOCATIONS. FILMS contient codefilm (entier, clé primaire) et nomfilm (chaîne).

LOCATIONS contient codecli et codefilm (entiers, formant ensemble la clé primaire), datedebut (chaîne) et duree (flottant, durée en jours).

Q 5. Écrire une requête SQL donnant la plus grande durée de location parmi tous les films.
Q 6. Extraire par une requête SQL le code, le nom et la durée moyenne de location des films loués en moyenne moins de deux jours, par durées moyennes décroissantes.

Exercice 2

On définit {P_0=1}, {P_1=X} et {P_{n+2}=2XP_{n+1}-P_n} pour {n\in\mathbb N}. Dans les questions suivantes, {n,k} sont des entiers naturels.

Q 7. Donner le degré et le terme dominant de {P_n}.
Q 8. Montrer que {P_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)} pour tout réel {\theta}.

Pour {P,Q\in\mathbb R[X]}, on pose

{\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1\frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt.}

Q 9. Justifier la convergence de cette intégrale.
Q 10. Montrer que cette application est un produit scalaire sur {\mathbb R_k[X]}.
Q 11. Calculer {\int_0^\pi\cos(n\theta)\cos(m\theta)\,d\theta} pour {n,m\in\mathbb N}.
Q 12. Donner une base orthonormale de {\mathbb R_k[X]} pour ce produit scalaire.

Problème — Matrices de rang 1

On fixe {n\geq2}. On note {\mathcal M_n(\mathbb R)}, {\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} et {\mathcal M_{1,n}(\mathbb R)} les espaces des matrices carrées, colonnes et lignes correspondantes.

Partie I — Exemples

Les variables {X_1,\ldots,X_n} sont indépendantes, de loi de Bernoulli de paramètre {p\in]0,1[}. On pose

{U=(X_1,\ldots,X_n)^{\mathsf T},\quad M=UU^{\mathsf T}=(X_iX_j)_{1\leq i,j\leq n}.}

Q 13. Avec {Y=\operatorname{rg}(M)}, montrer que {Y} suit une loi de Bernoulli de paramètre {1-(1-p)^n}.
Q 14. Reconnaître la loi de {\operatorname{Tr}(M)}.
Q 15. Vérifier que {M^2=\operatorname{Tr}(M)M}, puis calculer la probabilité que {M} soit une matrice de projection.
Q 16. On suppose maintenant les {X_i} indépendantes et de loi de Poisson de paramètre {\lambda\gt0}, avec la même définition de {M}.

Calculer à nouveau la probabilité que {M} soit une matrice de projection.

Q 17. Soit {J} la matrice dont tous les coefficients valent {1}.

Donner son rang, sa trace et une diagonalisation avec matrice de passage.

Q 18. Donner une matrice d’ordre {3}, de rang {1}, non diagonalisable, et préciser sa trace.

Partie II — Résultats généraux

Dans cette partie, {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} est de rang {1}.

Q 19. Soit {C} la première colonne non nulle de {A}. Montrer qu’il existe une ligne non nulle {L} telle que {A=CL}.
Q 20. Calculer {LC}, puis en déduire {A^2=\operatorname{Tr}(A)A}.
Q 21. Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de {A}.
Q 22. Établir que {A} est diagonalisable si et seulement si {\operatorname{Tr}(A)\ne0}.

On note {u} l’endomorphisme de {\mathbb R^n} canoniquement associé à {A}.

Q 23. Supposons {\operatorname{Im}u\cap\ker u\ne\{0\}}. Montrer que {\operatorname{Im}u\subset\ker u}, puis construire une base dans laquelle la matrice de {u} a pour seul coefficient non nul un {1} en position {(2,1)}.
Q 24. Supposons {\operatorname{Im}u\cap\ker u=\{0\}}.

Construire une base dans laquelle la matrice de {u} vaut {\operatorname{Diag}(a,0,\ldots,0)}, avec {a\ne0}.

Q 25. Conclure que deux matrices réelles de rang {1} sont semblables si et seulement si elles ont la même trace.