2026-Centrale-Mp1-Corrigé

Centrale — MP et MPI — 2026 — Mathématiques 1

Sur quelques sous-groupes de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)}

On fixe {n\geq2}. On note {\mathcal M_n(\mathbb R)} l’espace des matrices réelles, {I_n} sa matrice identité, {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)} le groupe des matrices inversibles, {\mathcal S_n^+} et {\mathcal S_n^{++}} les matrices symétriques positives et définies positives. Les groupes orthogonal et spécial orthogonal sont notés {\operatorname O_n(\mathbb R)} et {\operatorname{SO}_n(\mathbb R)}.

La transposée est notée {M^\top} et la trace {\operatorname{tr}M}. On note {|X|} le cardinal d’un ensemble, avec la convention {|X|=+\infty} s’il est infini. Pour une partie finie {A} d’un groupe, {\langle A\rangle} désigne le sous-groupe engendré.

Partie A — Sous-groupes finis de {\operatorname O_n(\mathbb R)}

Un groupe {G} de neutre {e} est d’exposant fini s’il existe {m\geq1} tel que {x^m=e} pour tout {x\in G}. Pour un groupe matriciel, on pose {\operatorname{tr}G=\{\operatorname{tr}A:A\in G\}}.

I — Généralités

Soit {G} un sous-groupe de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)}.

Q 1. Montrer que, si {G} est fini, il est d’exposant fini et sa trace est finie.
Q 2. Donner un sous-groupe infini de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)} dont la trace est finie.
Q 3. Donner un groupe infini, pas nécessairement matriciel, d’exposant fini.

II — Sous-groupes finis de {\operatorname O_2(\mathbb R)}

On pose {R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\[8pt]\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},\quad S_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\[8pt]\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}.}On admet les relations {\begin{array}{ll}R_\theta R_\phi=R_{\theta+\phi},&R_\theta S_\phi=S_{\theta+\phi},\\[8pt]S_\phi R_\theta=S_{\phi-\theta},&S_\theta S_\phi=R_{\theta-\phi}.\end{array}}

Q 4. Si {A\in\operatorname{SO}_2(\mathbb R)}, montrer qu’il existe un unique {\theta\in[0,2\pi[} tel que {A=R_\theta}.

Q 5. On fixe {\theta\in\mathbb R} et {G=\langle R_\theta\rangle}.

Q 5. a) Vérifier {G=\{R_{k\theta}:k\in\mathbb Z\}}.
Q 5. b) Pour {\theta=2\pi/m}, avec {m\geq1}, déterminer {|G|}.
Q 5. c) Montrer que {G} est fini si et seulement si {\theta/\pi\in\mathbb Q}.
Q 5. d) Montrer que, si {G} est d’exposant fini, il est fini.
Q 5. e) Montrer que, si {\operatorname{tr}G} est fini, {G} est fini.

Q 6. On fixe {\theta,\theta'\in\mathbb R} et {G=\langle R_\theta,R_{\theta'}\rangle}.

Q 6. a) Montrer que {|G|=|(\theta\mathbb Z+\theta'\mathbb Z)\cap[0,2\pi[|}.
Q 6. b) Pour deux entiers non nuls premiers entre eux {p,q}, en déduire {|\langle R_{\pi/p},R_{\pi/q}\rangle|=2pq}.
Q 6. c) Déterminer ce cardinal lorsque {p,q} ne sont pas nécessairement premiers entre eux.
Q 7. Montrer que tout sous-groupe fini de {\operatorname{SO}_2(\mathbb R)} est monogène.

Q 8. Pour {m\geq1}, on note {D_m=\langle R_{2\pi/m},S_{\pi/2}\rangle}.

Q 8. a) Déterminer le cardinal de {D_m}.
Q 8. b) Si {G} est un sous-groupe fini de {\operatorname O_2} non inclus dans {\operatorname{SO}_2}, montrer qu’il est isomorphe à un {D_m}.

III — Caractérisation des sous-groupes finis de {\operatorname O_n}

On suppose {G\subset\operatorname O_n(\mathbb R)}. On veut montrer l’équivalence entre finitude de {G}, exposant fini et finitude de {\operatorname{tr}G}.

Q 9. Rappeler le théorème de réduction des matrices orthogonales.
Q 10. Si {G} est d’exposant fini, montrer à l’aide de Q9 que {\operatorname{tr}G} est fini.

On suppose maintenant {\operatorname{tr}G} fini. On munit {\mathcal M_n(\mathbb R)} du produit scalaire {(A\mid B)=\operatorname{tr}(A^\top B)}. On pose {F=\operatorname{Vect}(G)} et {d=\dim F}.

Q 11. Montrer qu’il existe une base {\mathcal B=(A_1,\ldots,A_d)} de {F} constituée de matrices de {G}.

Q 12. On pose {B=((A_i\mid A_j))_{1\leq i,j\leq d}}. La matrice {C} a pour colonnes les coordonnées des {A_i} dans la base canonique de {\mathcal M_n(\mathbb R)}.

Q 12. a) Quelle est la taille de {C} ?
Q 12. b) Montrer que {B=C^\top C}.
Q 12. c) Montrer que {B,C} ont même rang et que {B} est inversible.
Q 13. Pour {M=\sum\limits_{j=1}^dx_jA_j\in G}, on pose {X_M=(x_j)_j} et {Y_M=((A_i\mid M))_i}. Montrer que {X_M=B^{-1}Y_M}.
Q 14. Montrer que l’ensemble des {Y_M} est fini, puis que {G} est fini.

Partie B — Sous-groupes compacts de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)}

On travaille sur les colonnes {\mathbb R^n} avec le produit scalaire canonique {(\cdot\mid\cdot)} et la norme {\|\cdot\|}. On note {B(0,r)} la boule fermée de rayon {r\geq0} et {B=B(0,1)}.

I — Quelques propriétés utiles

Au début de cette sous-partie, {A} est symétrique définie positive et {B} symétrique.

Q 15. Montrer que {\langle X,Y\rangle_A=(AX\mid Y)} est un produit scalaire. Si {B_A} est sa boule unité, existe-t-il {A} telle que {B_A=B(0,r)} ?
Q 16. Montrer que {X\mapsto A^{-1}BX} est autoadjoint pour {\langle\cdot,\cdot\rangle_A}.

Qu’en déduire sur {A^{-1}B} ?

Pour deux matrices symétriques, on écrit {B\preccurlyeq A} si {(BX\mid X)\leq(AX\mid X)} pour tout {X}.

Q 17. Montrer que {B\preccurlyeq A} équivaut à {A-B\in\mathcal S_n^+}.
Q 18. Pour {A,B\in\mathcal S_n^{++}}, montrer que {B\preccurlyeq A} équivaut à {\operatorname{Sp}(A^{-1}B)\subset]0,1]}.
Q 19. Sous les mêmes hypothèses et avec {B\preccurlyeq A}, montrer que {\det B\leq\det A}, avec égalité si et seulement si {A=B}.
Q 20. Montrer que {B\preccurlyeq A} équivaut à {B_A\subset B_B}.
Q 21. Pour {K\subset\mathcal S_n^+}, montrer que {K} est borné si et seulement s’il existe {\alpha>0} tel que {A\preccurlyeq\alpha I_n} pour tout {A\in K}.

II — Stricte log-concavité du déterminant

Une fonction {\varphi} sur un convexe est strictement concave si {\varphi(tA+(1-t)B)\geq t\varphi(A)+(1-t)\varphi(B)}, avec égalité exactement si {A=B} ou {t\in\{0,1\}}.

Q 22. Montrer que {\mathcal S_n^{++}} est convexe.
Q 23. Montrer que {A\mapsto\ln\det A} est strictement concave sur {\mathcal S_n^{++}}.

On pourra utiliser Q16.

III — Groupe orthogonal associé à une matrice définie positive

Pour {A\in\mathcal S_n^{++}}, on pose {O(A)=\{M:M^\top AM=A\}}.

Q 24. Montrer que {O(A)} est un sous-groupe de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)} isomorphe à {\operatorname O_n(\mathbb R)}.
Q 25. Montrer que {O(A)} est compact dans {\mathcal M_n(\mathbb R)}.

IV — Sous-groupes compacts de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)}

Soit {G} un sous-groupe compact de {\operatorname{GL}_n(\mathbb R)}. On veut le représenter comme un sous-groupe du groupe orthogonal.

Q 26. Montrer que {|\det M|=1} pour tout {M\in G}.
Q 27. On pose {C=\{MX:(M,X)\in G\times B\}}. Montrer que {C} est compact et contient {0} dans son intérieur.
Q 28. Montrer qu’il existe une unique {A\in\mathcal S_n^{++}} telle que {C\subset B_A} et de déterminant maximal.

On pourra considérer {E=\{A\in\mathcal S_n^+:C\subset B_A\}}.

Q 29. Montrer que {G} est un sous-groupe de {O(A)}.

Partie C — Croissance du groupe de Heisenberg discret

I — Croissance d’un groupe

Soit {G} engendré par une partie finie {S}. La longueur {\ell_S(g)} est le nombre minimal de facteurs de {S\cup S^{-1}} dans un mot représentant {g}, avec {\ell_S(e)=0}. Cela équivaut au minimum des sommes des valeurs absolues des exposants dans les écritures de l’énoncé.

On pose {V_S(p)=\{g:\ell_S(g)\leq p\}}. Le groupe a une croissance polynomiale de degré {d} s’il existe {\alpha,\beta>0} tels que {\alpha p^d\leq|V_S(p)|\leq\beta p^d} pour tout entier {p\geq1}.

Q 30. Montrer que {\ell_S(g^{-1})=\ell_S(g)} et {\ell_S(gh)\leq\ell_S(g)+\ell_S(h)}.
Q 31. Si {\Sigma} est une autre partie finie génératrice, montrer que les longueurs sont comparables par deux constantes positives.

En déduire l’indépendance du degré de croissance par rapport aux générateurs.

Q 32. Dénombrer les triplets {(x,y,z)\in\mathbb N^3} tels que {x+y+z\leq p}, puis déterminer le degré de croissance de {(\mathbb Z^3,+)}.

II — Le groupe de Heisenberg discret

On prend {n=3} et {S=\begin{pmatrix}1&0&0\\[8pt]0&1&1\\[8pt]0&0&1\end{pmatrix},\quad T=\begin{pmatrix}1&1&0\\[8pt]0&1&0\\[8pt]0&0&1\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}1&0&1\\[8pt]0&1&0\\[8pt]0&0&1\end{pmatrix}.}On pose {\mathcal A=\{S,T,U\}} et {H=\langle\mathcal A\rangle}.

Q 33. Calculer {S^iT^jU^k} pour {(i,j,k)\in\mathbb Z^3}.
Q 34. Déterminer {(i'',j'',k'')} tel que {S^iT^jU^kS^{i'}T^{j'}U^{k'}=S^{i''}T^{j''}U^{k''}}.
Q 35. Vérifier que {U} commute avec tous les éléments de {H} et que {S^iT^jU^{ij}=T^jS^i}.
Q 36. Le groupe {H} est-il commutatif ? Quel est le groupe engendré par {S,T} ?
Q 37. Montrer que {f:\mathbb Z^3\to H}, {(i,j,k)\mapsto S^iT^jU^k}, est bijective. Est-ce un isomorphisme pour l’addition usuelle ?

Peut-on munir {\mathbb Z^3} d’une autre loi qui en fasse un isomorphisme ?

Q 38. Si {\ell_{\mathcal A}(M)\leq p}, montrer qu’il existe {(i,j,k,z)\in\mathbb Z^4} tels que {M=S^iT^jU^{k+z}}, {|i|+|j|+|k|\leq p} et {|z|\leq|ij|}. En déduire {|V_{\mathcal A}(p)|=O(p^4)}.
Q 39. Montrer que, pour {(i,j,k)\in\mathbb Z^3}, si {|i|+|j|\leq p} et {|k|\leq|ij|}, alors {\ell_{\mathcal A}(S^iT^jU^k)\leq p}.
Q 40. Montrer que {\begin{array}{l}\#\{(i,j,k)\in\mathbb N^3:i+j\leq p,\ k\leq ij\}\\[8pt]\displaystyle\quad\geq\frac{p^3}2\sum_{i=0}^p\frac ip\left(1-\frac ip\right)^2\end{array}}puis déterminer un équivalent de ce dernier membre.
Q 41. En déduire que {H} a une croissance polynomiale de degré {4}.