Écoles normales supérieures — MP et MPI — 2026 — Mathématiques C
On travaille dans {\mathbb R^n}, {n\geq1}, muni du produit scalaire canonique {\langle\cdot,\cdot\rangle} et de la norme euclidienne {\|\cdot\|}. La transposée d’une matrice est notée {A^\top}.
Une fonction {f} est convexe si {f(\lambda x+(1-\lambda)x')\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(x')} pour {0\leq\lambda\leq1}. Une application {F} est {L}-lipschitzienne si {\|F(x')-F(x)\|\leq L\|x'-x\|}. Un point fixe vérifie {F(x^*)=x^*}.
Partie I — Inégalités variationnelles et projection sur un convexe fermé
A — Inégalités variationnelles
Soit {G:\mathbb R^n\to\mathbb R^n} et {C} un convexe fermé non vide. Un point {x^*\in C} est une solution forte si {\langle G(x^*),x-x^*\rangle\geq0} pour tout {x\in C}, et une solution faible si {\langle G(x),x-x^*\rangle\geq0} pour tout {x\in C}.
L’opérateur {G} est monotone si {\langle G(x')-G(x),x'-x\rangle\geq0} pour tous {x,x'}.
1) Si {G} est monotone, montrer que toute solution forte est faible.
On admet l’unicité du minimiseur, noté {\Pi_C(y)}, ainsi que sa caractérisation : c’est l’unique point {x\in C} tel que {\langle x'-x,y-x\rangle\leq0} pour tout {x'\in C}.
6) Pour {x=\Pi_C(y)} et {x'=\Pi_C(y')}, montrer que {0\leq\|x\|^2-\|x'\|^2-2\langle y',x-x'\rangle\leq\|y'-y\|^2.}
Partie II — Existence et théorème du minimax de von Neumann
On suppose {C} convexe compact non vide et {G} monotone continu.
Pour {\eta>0}, on définit {y_1=0}, {x_1=\Pi_C(y_1)}, puis {y_j=-\eta\sum_{i=1}^{j-1}G(x_i),\quad x_j=\Pi_C(y_j).}On pose {B_j=\|x_j\|^2-\|x_{j+1}\|^2-2\langle y_{j+1},x_j-x_{j+1}\rangle,}et, pour {x\in C}, {D_j(x)=\|x\|^2-\|x_j\|^2-2\langle y_j,x-x_j\rangle.}
7) Montrer que {\begin{array}{rl}2\eta\langle G(x),x_j-x\rangle&\leq2\eta\langle G(x_j),x_j-x\rangle\\[8pt]&=D_j(x)-D_{j+1}(x)+B_j\end{array}}
8) Montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, il existe {\widetilde x_\varepsilon\in C} tel que {\langle G(x),\widetilde x_\varepsilon-x\rangle\leq\varepsilon} pour tout {x\in C}.
Pour {p\geq1}, on note {\Delta_p=\{x\in(\mathbb R_+)^p:\sum\limits_ix_i=1\}}. Soit {A\in\mathcal M_{m,n}(\mathbb R)} et {G(a,b)=(-Ab,A^\top a)} sur {\mathbb R^m\times\mathbb R^n}.
10. a) Montrer que {G} est un opérateur monotone continu.
Soit désormais {F:\mathbb R^n\to\mathbb R^n}{1}-lipschitzienne avec un point fixe {x^*}. On fixe {0\lt \theta\lt 1}, {x_1\in\mathbb R^n}, et on pose {x_{k+1}=(1-\theta)x_k+\theta F(x_k)}.
Partie IV — Théorème de Baillon–Haddad et descente de gradient
Soit {f:\mathbb R^n\to\mathbb R} de classe {\mathcal C^1}, convexe, et admettant un point {x^*} tel que {\nabla f(x^*)=0}. On note {I} l’application identité et on fixe {L>0}. Si elle existe, la hessienne est notée {\nabla^2f}.
19. c) Sous {(P)}, montrer que {\begin{array}{rl}f(x')&\geq f(x)+\langle\nabla f(x),x'-x\rangle\\[8pt]&\quad\displaystyle+\frac1{2L}\|\nabla f(x')-\nabla f(x)\|^2\end{array}}
20) Pour {f\in\mathcal C^2}, montrer l’équivalence entre : (i) {\nabla f} est {L}-lipschitzienne ; (ii) {LI_n-\nabla^2f(x)} est symétrique positive pour tout {x} ; (iii) les valeurs propres de {\nabla^2f(x)} sont dans {[0,L]}.