2026-Inp-Psi-Corrigé

CCINP — PSI — 2026

Exercice 1 — Un jeu de pile ou face

Préliminaires.

Q 1. Pour {f(x)=1/(1-x)}, montrer que {f\in\mathcal C^k(]-1,1[)} et {f^{(k)}(x)=k!/(1-x)^{k+1}} pour tout {k\in\mathbb N}.
Q 2. Montrer que, pour {|x|\lt 1}, {\sum\limits_{n=k}^{+\infty}\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}=\frac{k!}{(1-x)^{k+1}}}.

Le jeu. Tous les lancers sont indépendants, avec une probabilité {p\in]0,1[} d’obtenir pile. Le premier joueur lance jusqu’à son premier pile ; on admet que ce temps est fini presque sûrement. On note {X} son nombre de lancers. Le second effectue alors {X} lancers et obtient {Y} piles.

L’expérience est modélisée sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}.

Q 3. Préciser la loi de {X}.
Q 4. Calculer {\mathbb P(Y=k\mid X=n)} pour {n\geq1} et {k\geq0}.
Q 5. Exprimer {\mathbb P(Y=k)} à l’aide des probabilités conditionnelles précédentes.
Q 6. Montrer que {\mathbb P(Y=0)=(1-p)/(2-p)}.
Q 7. Montrer que {\mathbb P(Y=k)=(1-p)^{k-1}/(2-p)^{k+1}} pour {k\geq1}.

Exercice 2 — Caractérisation de la fonction Gamma

On admet le lemme des pentes : si {g} est convexe sur {I} et {a\in I}, pour {x,y\in I\setminus\{a\}} et {x\leq y}, {\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\leq\frac{g(y)-g(a)}{y-a}.}On veut montrer que la seule fonction {f:]0,+\infty[\to]0,+\infty[} vérifiant {\begin{array}{l}f(x+1)=xf(x),\\[8pt]f(1)=1,\quad\ln\circ f\text{ convexe},\end{array}\tag{S}}est {\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt}.

Existence.

Q 8. Montrer que {\Gamma} est bien définie et strictement positive sur {]0,+\infty[}.
Q 9. Montrer que {\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)} pour {x>0}.

Pour Q10 à Q12, {0\lt a\lt 1\lt b} et {\varphi(t)=\begin{cases}t^{a-1}&0\lt t\leq1,\\[8pt]t^{b-1}e^{-t}&t>1.\end{cases}}

Q 10. Montrer que {t^{x-1}e^{-t}\leq\varphi(t)} pour {(x,t)\in[a,b]\times]0,+\infty[}.
Q 11. Pour {k=0,1,2}, montrer que {\psi_k(t)=|\ln t|^k\varphi(t)} est intégrable.
Q 12. En déduire que {\Gamma} est de classe {\mathcal C^2} et donner ses deux dérivées sous forme intégrale.
Q 13. Pour {0\lt \alpha\lt \beta}, montrer que {\langle u,v\rangle=\int_\alpha^\beta u(t)v(t)\,dt} définit un produit scalaire sur {\mathcal C^0([\alpha,\beta],\mathbb R)}.
Q 14. Avec Cauchy-Schwarz, établir {(\Gamma'(x))^2\leq\Gamma(x)\Gamma''(x)}, puis la convexité de {\ln\Gamma} et la propriété {(S)}.

Unicité. Soit {f} satisfaisant {(S)}, et {g=\ln f}.

Q 15. Montrer que {f(x+n)=x(x+1)\cdots(x+n-1)f(x)} pour {x>0}, {n\in\mathbb N}. En déduire {f(n+1)} et {g(n+1)}.
Q 16. Montrer que {g(x+n+1)=g(x)+\ln(x(x+1)\cdots(x+n))}.
Q 17. Montrer, pour {0\lt x\leq1} et {n\geq1}, que {\begin{array}{rl}g(n+1)-g(n)&\displaystyle\leq\frac{g(n+1+x)-g(n+1)}x\\[8pt]&\leq g(n+2)-g(n+1)\end{array}}
Q 18. En déduire, pour {0\lt x\leq1}, {f(x)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n^xn!}{x(x+1)\cdots(x+n)}.}
Q 19. En déduire que {f(x)=\Gamma(x)} sur {]0,1]}.
Q 20. Conclure que {f=\Gamma} sur {]0,+\infty[}.

Problème — Une classe d’endomorphismes

Le corps {\mathbb K} est {\mathbb R} ou {\mathbb C}, et {E} est de dimension {n\geq1}. On note {\mathcal L(E)} ses endomorphismes, avec {u^0=\operatorname{Id}_E}. Une somme directe vide désigne {\{0\}} ; {\mathbb K_p[X]} désigne les polynômes de degré au plus {p}.

On note {\mathcal D} l’ensemble des endomorphismes pour lesquels il existe {p,q\geq0}, {p+2q=n}, et une décomposition de {E} en somme directe de {p} droites et {q} plans stables. On admet l’équivalence avec l’existence d’une base où la matrice est diagonale par blocs de tailles {1} ou {2}.

I. Deux exemples. Ici {E=\mathbb K_2[X]}, {u(P)=X^2P''+P'} et {v(P)=P'}.

Étude de {u}.

Q 21. Écrire la matrice de {u} dans la base canonique ; est-elle diagonalisable ?
Q 22. Déterminer {\ker u^2} et justifier sa stabilité par {u}.
Q 23. Donner une base où la matrice de {u} est {\begin{pmatrix}2&0&0\\[8pt]0&0&1\\[8pt]0&0&0\end{pmatrix}}, puis conclure {u\in\mathcal D}.

Étude de {v}.

Q 24. Donner la matrice de {v} dans la base canonique.
Q 25. Déterminer toutes les droites stables par {v}.
Q 26. Montrer que {\mathbb K_1[X]} est le seul plan stable par {v}.
Q 27. En déduire que {v\notin\mathcal D}.
Q 28. L’ensemble {\mathcal D} est-il un sous-espace de {\mathcal L(E)} ?

II. Endomorphismes nilpotents. On note {\mathcal N} l’ensemble des nilpotents et {\mathcal N_2=\{u:u^2=0\}}. Un nilpotent a pour indice le plus petit {k\geq1} tel que {u^k=0}. On note {r=\operatorname{rg}u} et {J=\begin{pmatrix}0&1\\[8pt]0&0\end{pmatrix}}.

Dimension {1}.

Q 29. Que dire de {u} nilpotent si {\dim E=1} ?

Dimension {2}. On suppose {u\neq0}.

Q 30. Si {u^{k-1}(x)\neq0}, montrer que {(u^{k-1}(x),\ldots,u(x),x)} est libre.
Q 31. En déduire {k=2} et {u\in\mathcal N_2}.

Dimension quelconque {n\geq1}.

Q 32. Montrer que {\mathcal D\cap\mathcal N\subset\mathcal N_2}.

Soit maintenant {u\in\mathcal N_2}, de rang {r}.

Q 33. Justifier {\operatorname{Im}u\subset\ker u} et {r\leq n-r}.
Q 34. On complète une base {(e_1,\ldots,e_r)} de {\operatorname{Im}u} en {(e_1,\ldots,e_{n-r})} de {\ker u}. On choisit {u(f_i)=e_i}.

Montrer que {(e_1,\ldots,e_{n-r},f_1,\ldots,f_r)} est une base de {E}.

Q 35. Construire une base dans laquelle la matrice de {u} est {\operatorname{diag}(0_{n-2r},J,\ldots,J)} avec {r} blocs {J}.
Q 36. En déduire {\mathcal N_2=\mathcal D\cap\mathcal N}.

III. Critère d’appartenance à {\mathcal D}. On veut montrer qu’un endomorphisme possédant un polynôme annulateur scindé à racines simples ou doubles appartient à {\mathcal D}.

Q 37. Pour {a\neq b}, montrer que {\varphi:\mathbb K_1[X]^2\to\mathbb K_3[X]}, {(A,B)\mapsto(X-a)^2A+(X-b)^2B}, est un isomorphisme. En déduire une telle combinaison égale à {1}.
Q 38. Justifier {\ker(u-aI)^2\cap\ker(u-bI)^2=\{0\}} pour {a\neq b}.

Soient {p,q\geq0}, {p+q>0}, et des scalaires {\alpha_1,\ldots,\alpha_p,\beta_1,\ldots,\beta_q} tous distincts. Une des familles peut être vide.

Q 39. Justifier que la somme des {\ker(u-\alpha_iI)} est directe.
Q 40. Montrer que la somme des {\ker(u-\alpha_iI)} et des {\ker(u-\beta_jI)^2} est directe ; on pourra raisonner par récurrence sur {q}.

On pose {P=\prod_{i=1}^p(X-\alpha_i)\prod_{j=1}^q(X-\beta_j)^2.}Les polynômes {P_i,Q_j,R_j} sont définis par {P=(X-\alpha_i)P_i=(X-\beta_j)Q_j=(X-\beta_j)^2R_j}.

Q 41. Montrer que {(P_1,\ldots,P_p,Q_1,\ldots,Q_q,R_1,\ldots,R_q)} est libre, puis que c’est une base de {\mathbb K_{p+2q-1}[X]}.

On suppose désormais {P(u)=0}.

Q 42. En décomposant {1} sur cette base, montrer que {E=\bigoplus_{i=1}^p\ker(u-\alpha_iI)\oplus\bigoplus_{j=1}^q\ker(u-\beta_jI)^2.}
Q 43. Conclure que {u\in\mathcal D}, en utilisant éventuellement 36.