Le matériau est modélisé par des petits aimants de valeurs {+1} ou {-1}. Une configuration reçoit un poids exponentiel déterminé par une fonction d’énergie. Le sujet étudie l’influence des paramètres de ce modèle.
On utilise le produit scalaire usuel {\lambda\cdot x} de {\mathbb R^d}. Une fonction {f} est convexe si {f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)} pour {0\leq\alpha\leq1}. On note {\operatorname{ch}x=(e^x+e^{-x})/2}, {\operatorname{sh}x=(e^x-e^{-x})/2} et {\operatorname{th}x=\operatorname{sh}x/\operatorname{ch}x}. La formule de Stirling {n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n} est rappelée.
Première partie
Soit {X=(X_1,\ldots,X_d)} une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini de {\mathbb R^d}. On pose {\varphi(\lambda)=\ln\mathbb E(e^{\lambda\cdot X})}.
1. Si {g:\mathbb R\to\mathbb R} est convexe et dérivable en {x}, montrer pour {h>0} que {\frac{g(x)-g(x-h)}h\leq g'(x)\leq\frac{g(x+h)-g(x)}h.}
5. Si {g:\mathbb R^d\to\mathbb R} est convexe et de classe {\mathcal C^2}, montrer que sa hessienne en tout point est symétrique positive. On pourra étudier {t\mapsto g(x+tu)}.
7. Montrer que {\varphi} est de classe {\mathcal C^2} et que {\begin{array}{l}\partial_i\varphi(\lambda)=\dfrac{\mathbb E(X_ie^{\lambda\cdot X})}{\mathbb E(e^{\lambda\cdot X})},\\[12pt]\partial_{ij}\varphi(\lambda)=\dfrac{\mathbb E(X_iX_je^{\lambda\cdot X})}{\mathbb E(e^{\lambda\cdot X})}\\[12pt]\quad-\dfrac{\mathbb E(X_ie^{\lambda\cdot X})\mathbb E(X_je^{\lambda\cdot X})}{\mathbb E(e^{\lambda\cdot X})^2}.\end{array}}
Les variables {(\sigma_i)_{i\geq1}} sont mutuellement indépendantes et prennent les valeurs {1,-1} avec probabilité {1/2}. On note {X^{(N)}=(\sigma_1,\ldots,\sigma_N)}.
Pour {a=(a_1,\ldots,a_N)} et {\beta,h\in\mathbb R}, on pose {H_N(\beta,h,a)=\beta\sum_{i=1}^{N-1}a_ia_{i+1}+\beta a_Na_1+h\sum_{i=1}^Na_i,}puis {Z_N(\beta,h)=\mathbb E(e^{H_N(\beta,h,X^{(N)})})} et {F_N(\beta,h)=N^{-1}\ln Z_N(\beta,h)}.
9. Montrer que {Z_{N+1}(0,h)=\operatorname{ch}(h)Z_N(0,h)} et calculer {F_N(0,h)}.
Pour les quatre questions suivantes, on fixe {\beta\geq0} et {h\in\mathbb R}.
11. Montrer que {A=\begin{pmatrix}e^{\beta-h}&e^{-\beta+h}\\[8pt]e^{-\beta-h}&e^{\beta+h}\end{pmatrix}} a deux valeurs propres réelles distinctes et que la plus grande est {\lambda(\beta,h)=e^\beta\operatorname{ch}h+\sqrt{e^{2\beta}\operatorname{ch}^2h-2\operatorname{sh}(2\beta)}.}
16. On pose {m_N(\beta,h)=\frac{\mathbb E\left[\left(N^{-1}\sum_{i=1}^N\sigma_i\right)e^{H_N(\beta,h,X^{(N)})}\right]}{Z_N(\beta,h)}.}Montrer que {m_N(\beta,h)\to\partial_h\ln\lambda(\beta,h)}.
Les spins ont la même loi indépendante que précédemment. On pose {S_N=\frac1N\sum_{i=1}^N\sigma_i,\ \mathcal M_N=\left\{-1\!+\!2\frac kN:0\!\leq\! k\!\leq\! N\!\right\}}Pour {\beta\geq0}, {h\in\mathbb R}, on définit {Y_N(\beta,h)=\mathbb E(e^{\beta NS_N^2+hNS_N}),\;G_N=N^{-1}\ln Y_N}
Enfin, sur {]-1,1[}, l’énoncé pose {I(x)=\frac{1+x}{2}\ln\frac{1+x}{2}+\frac{1-x}{2}\ln\frac{1-x}{2}.}
19. Montrer que {I} se prolonge continûment en {-1} et {1}.
L’énoncé admet {G_N(\beta,h)\to g(\beta,h)} avec {g(\beta,h)=\sup_{x\in[-1,1]}(\beta x^2+hx-I(x)).}La correction nécessaire de cette affirmation est établie dans la réponse à Q22. On conserve cette définition de {g} pour la suite. On pose {\psi_{\beta,h}(x)=\beta x^2+hx-I(x)} sur {[-1,1]}.
23. Déterminer les {x} pour lesquels {\psi_{\beta,h}''(x)\leq0}, en distinguant {0\leq\beta\leq1/2} et {\beta>1/2}.
On admet désormais que, pour chaque {\beta\geq0}, la fonction {h\mapsto x^*(\beta,h)} est continue sur {[0,+\infty[}, avec le choix positif de Q25 lorsque {\beta>1/2} et {h=0}.
27. Pour {h,h'\geq0}, montrer que {\begin{array}{rl}(h'-h)x^*(\beta,h)&\leq g(\beta,h')-g(\beta,h)\\[8pt]&\leq(h'-h)x^*(\beta,h')\end{array}}
30. Pour {\beta\geq0} et {h>0}, identifier la limite de {\frac1{Y_N(\beta,h)}\mathbb E\left[S_N\exp\left(\!\frac\beta N\sum_{i,j=1}^N\sigma_i\sigma_j\!+\!h\sum_{i=1}^N\sigma_i\!\right)\!\right]}
La quantité {x^*(\beta,h)} s’interprète comme une magnétisation. La différence entre les régimes {\beta\leq1/2} et {\beta>1/2} met en évidence l’apparition d’une magnétisation spontanée : la limite à champ positif tendant vers zéro est nulle dans le premier cas, strictement positive dans le second.