Lemmes de Borel-Cantelli

Exercice 1.
(premier lemme de Borel-Cantelli)
Soit {(A_n)_{n\ge0}} une suite d’événements.
On suppose que la série {\displaystyle\sum\mathbb{P}(A_{n})} converge.
On définit l’événement {B=\displaystyle\bigcap_{n=0}^{+\infty}\Bigl(\displaystyle\bigcup_{k=n}^{+\infty}A_{k}\Bigr)}.

  1. Montrer que ({B} est réalisé) {\Leftrightarrow} (une infinité d’événements {A_{n}} sont réalisés).
  2. En déduire {\mathbb{P}(B)=0}. Interprétation?

Exercice 2.
(second lemme de Borel-Cantelli)
Soit {(A_n)_{n\ge0}} une suite d’événements indépendants. On note {p_n=\mathbb{P}(A_n)}.
On suppose que la série {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0} p_n} diverge.

  1. Interpréter l’événement {B=\displaystyle\bigcap\limits_{n=0}^{+\infty}\big(\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty}A_k\big)}.
  2. Exprimer {\mathbb{P}\big(\displaystyle\bigcup\limits_{k=n}^m A_k\big)} en fonction des {p_k}.
  3. Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}\ln(1-p_n)} diverge.
  4. En déduire : {\forall\,n\ge0,\;\mathbb{P}\big(\displaystyle\bigcup\limits_{k=n}^{+\infty} A_k\big)=1}.
  5. En déduire {\mathbb{P}(B)=1}. Interprétation?

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.