Un endomorphisme de matrices

(Oral Centrale)
Soient

{A}

{B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

. Soit

{\varphi}

défini par :

{\varphi(M)=AM-MB}

Montrer que si ${\alpha\in\text{Sp}(A)}$ et ${\beta\in\text{Sp}(B)}$ , alors ${\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}$ .
Si $\varphi(M)=\lambda M$ , montrer que : ${\forall\, P\in \mathbb{R}[X]}$ , ${P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :