Équation différentielle de Legendre

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {(E_{\lambda})} l’équation différentielle :{(1-x^{2})y''-2xy'+\lambda y=0}On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.

  1. Montrer que {P_{n}} est solution de {E_{n(n+1)}}.
  2. Soit {u} vérifiant {E_{n(n+1)}} sur {]-1,1[}.
    Trouver une équation différentielle vérifiée par {W_n=u'P_{n}-uP_{n}'} et la résoudre.
  3. Solutions {\mathcal{C}^{2}} de {E_{n(n+1)}} sur {[-1,1]}?
  4. Soit {f\in \mathcal{C}^{2}([-1,1])}. On pose :{D(f):x\mapsto \dfrac{d}{dx}\bigl((1-x^{2})f'(x)\bigr)}Montrer {\displaystyle\int_{-1}^{1}D(f)g=\displaystyle\int_{-1}^{1}fD(g)\ (\star)}
  5. (ajouté à l’exercice initial)
    Quel est le lien entre (4) et les questions précédentes?