Quand le nombre d’urnes est infini

(Oral Centrale)

  1. Calculer {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}(1-x)^{n}\,\text{d}x}, où {n\in\mathbb{N}}.
  2. On dispose de {p} urnes numérotées de {1} à {p}.

    Pour {1\le k\le p}, l’urne n°{k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.

    On choisit au hasard une urne puis on y effectue des tirages avec remise.

    On note {A_{n,p}} l’événement :
    « {2n} tirages ont renvoyé {n} boules noires ».

    Calculer {\mathbb{P}(A_{n,p})}, puis {\displaystyle\lim_{p\rightarrow+\infty}\mathbb{P}(A_{n,p})}.