Rationnels et irrationnels

Exercices corrigés


Exercice 1.
Montrer que {\sqrt[3]{45+29\sqrt2}+\sqrt[3]{45-29\sqrt2}} est un entier.

Exercice 2.
Soient {m} et {n} des entiers naturels.

  1. Montrer que si {n} n’est pas un carré, {\sqrt n} est irrationnnel.
  2. Montrer que si {m,n} ne sont pas des carrés, {\sqrt m+\sqrt n} est irrationnel.
  3. Montrer que {x=\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} est irrationnel.

Exercice 3.

  1. Montrer que : {\forall (a,b)\in\mathbb{Q}^2,\;\Bigl(a+b\sqrt2=0\Leftrightarrow a=b=0\Bigr)}
  2. Montrer que, pour tous rationnels {a,b,c} :{a\sqrt2+b\sqrt3+c\sqrt5=0\Leftrightarrow a=b=c=0}

Exercice 4.
Montrer que {\sqrt[3]{5}+\sqrt2} est un irrationnel.

Exercice 5.
Montrer qu’il existe {a,b} irrationnels tel que {a^b} soit rationnel.

Exercice 6.
Montrer que pour tous réels positifs {a,b} : {(a^2+a^{\frac43}b^{\frac23})^{\frac12}+(b^2+a^{\frac23}b^{\frac43})^{\frac12}=(a^{\frac23}+b^{\frac23})^{\frac32}}

Exercice 7.
Montrer qu’il existe un unique réel {\alpha} tel que {\alpha^3+3\alpha+1=0}, et que {\alpha} est irrationnel.

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.