Exercices corrigés
| Exercice 1. Montrer que si {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} est convexe majorée, elle est constante. |
| Exercice 2. Soit {p,q} dans {\mathbb{R}^{+*}} avec {\dfrac1p+\dfrac1q=1}. Montrer : {\forall\, a,b\in\mathbb{R}^{+*},\;\dfrac{a^p}p+\dfrac{b^q}q\ge ab}. |
| Exercice 3. Pour tous {x,y} de {]1,+\infty[}, montrer que {\ln\Bigl(\dfrac{x+y}2\Bigr)\ge\sqrt{\ln x\ln y }}. |
| Exercice 4. Soit {f:[0,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}} une fonction majorée de classe {{\mathcal C}^2}. On suppose : {\exists\, a>0,\;\forall\, x\ge0,\;f''(x)\ge af(x)\ge0}.
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| Exercice 5. Soit {f} une fonction dérivable de {]0,1[} dans {\mathbb{R}}. On suppose que pour tout {x} de {]0,1[}, {|f'(x)|\le M}. Montrer que {f} est prolongeable par continuité en {0} et en {1}. |