Dénombrements divers (2/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Combien peut-on former de nombres de {6} chiffres en juxtaposant {2}, {2}, {2}, {3}, {4} et {4}?

Exercice 2.
Une urne contient {20} boules numérotées, dont {12} sont blanches et {8} sont noires.

  1. On tire simultanément {5} boules.
    • Combien y a-t-il de tirages possibles?
    • Combien y a-t-il de tirages comportant {3} boules blanches et {2} noires?
    • Combien y a-t-il de tirages comportant des boules de couleurs différentes?
  2. On tire successivement {5} boules, avec remise.
    • Combien y a-t-il de tirages possibles?
    • Combien y a-t-il de tirages comportant {3} boules blanches et {2} boules noires?

Exercice 3.
Une « main » au poker, c’est {5} cartes sur {32}.
Combien y a-t-il de mains différentes contenant

  1. Deux paires.
  2. Un full (un brelan et une paire).
  3. Exactement une paire (deux cartes à la même hauteur).
  4. Exactement un brelan (trois cartes à la même hauteur).
  5. Une quinte flush (cinq cartes qui se suivent et de la même couleur).
  6. Une quinte (cinq cartes qui se suivent, mais pas toutes de la même couleur).
  7. Une couleur (cinq cartes de la même couleur).
  8. Un carré (quatre cartes de la même hauteur).
  9. Un résultat inintéressant.

Exercice 4.
On lance une pièce de monnaie autant de fois que nécessaire pour qu’au total la pièce retombe {k} fois sur un même coté (non spécifié à l’avance).

  1. Quel est le nombre minimum {m} ou maximum {M} de jets à effectuer?
  2. Soit {n} un entier naturel compris entre {m} et {M}. Combien existe-t-il de résultats de l’épreuve en {n} coups exactement? En {n} coups au plus?

Exercice 5.

  1. Soit {n\in\mathbb{N}}. Combien y a-t-il d’entiers différents {u_k=2^k3^{n-k}}, avec {0\le k\le n}.
    Quelle est leur somme?
  2. Combien y a-t-il de triplets {(x,y,z)} dans {\mathbb{N}^3} tels que {x+y+z=n} (avec {n} fixé dans {\mathbb{N}})?
  3. Combien y a-t-il de triplets {(x,y,z)} dans {\mathbb{N}^3} tels que {x+y+z\le n}?

Exercice 6.
Soit {E} l’ensemble des {n\in\mathbb{N}} dont l’écriture décimale comporte une seule fois les chiffres de {1} à {6} (et pas les autres).

  1. Combien y a-t-il de tels nombres?
  2. Montrer qu’aucun de ces nombres n’est premier, ni n’est un carré parfait.
  3. Si on les range par ordre croissant, quel est le rang de 362145?
    Inversement, déterminer le 500-ième nombre de cette liste.
  4. Calculer la somme de ces nombres.
  5. Trouver le nombre de zéros qui terminent le produit de tous ces nombres.

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.