J’ai été professeur de mathématiques en spé PSI* au lycée Chaptal à Paris. Je partage ici mon cours de seconde année (avec les démonstrations). Il est à jour et conforme aux programmes.
Chapitre 1 — Compléments d’algèbre linéaire
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- Produits d’espaces vectoriels, sommes directes et supplémentaires. Les formules de dimension conduisent aux bases adaptées, puis à la description d’un endomorphisme par ses restrictions aux sous-espaces d’une décomposition. Produit et somme d’espaces vectoriels
- Polynômes annulateurs et calcul des puissances ou de l’inverse d’une matrice, puis opérations par blocs et sous-espaces stables. La similitude et l’invariance de la trace complètent cette section. Matrices et endomorphismes
- Calculs et factorisations de déterminants, déterminant d’une matrice triangulaire par blocs et formule de Vandermonde. Les exercices illustrent différentes façons de simplifier un déterminant avant de le développer. Déterminants
- Formes linéaires coordonnées et caractérisation des hyperplans comme noyaux de formes linéaires non nulles. Équations dans une base et descriptions des droites et des plans vectoriels en petites dimensions. Formes linéaires et hyperplans en dimension finie
Chapitre 2 — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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- Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres, pour un endomorphisme ou une matrice. Invariance du spectre par similitude et somme directe des sous-espaces associés à des valeurs propres distinctes. Éléments propres
- Construction du polynôme caractéristique et calcul du spectre à partir de ses racines. Multiplicité des valeurs propres, liens avec la trace et le déterminant, puis majoration de la dimension des sous-espaces propres. Polynôme caractéristique
- Critères de diagonalisation et construction d’une base de vecteurs propres. La distinction entre les corps réel et complexe précède les applications aux puissances de matrices et aux suites récurrentes linéaires. Diagonalisation
- Le théorème de Cayley-Hamilton relie un endomorphisme à son polynôme caractéristique. La diagonalisation est ensuite caractérisée par l’existence d’un polynôme annulateur scindé à racines simples ; le cas des restrictions à un sous-espace stable est également abordé. Diagonalisation et polynômes annulateurs
- La trigonalisation est possible exactement lorsque le polynôme caractéristique est scindé. Réduction triangulaire, lecture des valeurs propres et caractérisations des matrices et endomorphismes nilpotents. Trigonalisation
Chapitre 3 — Espaces préhilbertiens réels
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- Produits scalaires usuels sur les vecteurs, les matrices et les fonctions. L’inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d’égalité permettent d’établir les propriétés de la norme associée ; identités de polarisation et interprétations géométriques. Produit scalaire et norme associée
- Orthogonalité de vecteurs et de sous-espaces, puis propriétés de l’orthogonal d’un sous-espace. Liberté des familles orthogonales de vecteurs non nuls et théorème de Pythagore. Orthogonalité
- Le procédé de Gram-Schmidt construit une famille orthonormale à partir d’une famille libre. Existence et complétion des bases orthonormales, calcul des coordonnées, du produit scalaire et de la norme dans ces bases. Bases orthonormales d’un espace euclidien
- Supplémentaire orthogonal et formule de projection sur un sous-espace de dimension finie. L’inégalité de Bessel et la propriété de meilleure approximation donnent ensuite la distance d’un vecteur à ce sous-espace. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie
- Toute forme linéaire sur un espace euclidien s’écrit comme un produit scalaire avec un vecteur fixé. Cette représentation donne les équations des hyperplans et les formules de distance à un hyperplan ou à une droite. Formes linéaires sur un espace euclidien
Chapitre 4 — Isométries et endomorphismes symétriques
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- Les applications linéaires qui conservent la norme sont caractérisées par la conservation du produit scalaire. Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable et cas des symétries et projections orthogonales. Isométries vectorielles d’un espace euclidien
- Matrices de passage entre bases orthonormales et matrices des isométries vectorielles. Caractérisations de l’orthogonalité, structure du groupe orthogonal et distinction des déterminants +1 et −1. Matrices orthogonales
- Orientation des bases en dimensions deux et trois, produit mixte et interprétation en aire ou en volume orientés. Le produit vectoriel en dimension trois fournit ensuite un outil pour les calculs géométriques. Espace euclidien orienté de dimension 2 ou 3
- Description des matrices orthogonales d’ordre deux et de leurs écritures complexes. Angles orientés, rotations et réflexions conduisent à la classification des isométries vectorielles du plan. Isométries vectorielles d’un plan euclidien
- Axe, angle et forme réduite des rotations de l’espace ; expression d’une rotation à l’aide du produit vectoriel. Le cas du déterminant −1 complète la classification des isométries vectorielles en dimension trois. Isométries d’un espace euclidien de dimension 3
- Endomorphismes symétriques, matrices symétriques et stabilité des orthogonaux. Le théorème spectral établit l’existence d’une base orthonormale de vecteurs propres et la diagonalisation par une matrice orthogonale. Endomorphismes symétriques
Chapitre 5 — Espaces vectoriels normés de dimension finie
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- Normes usuelles, distance associée, boules et sphères. La convexité des boules, les ensembles convexes, puis les parties bornées et leur diamètre précisent la géométrie d’un espace normé. Norme, distance, parties bornées
- Convergence, suites extraites et opérations sur les limites. En dimension finie, l’équivalence des normes ramène la convergence à celle des coordonnées ; propriété de Bolzano-Weierstrass et applications aux suites de matrices. Suites d’un espace vectoriel normé
- Ouverts et fermés d’un espace normé, avec les exemples des boules et des sphères. La caractérisation séquentielle des points adhérents permet de reconnaître les ensembles fermés. Topologie d’un espace vectoriel normé
- Limites et continuité en un point dans un espace normé. Caractérisations par les suites, calcul par composantes et règles de passage à la limite pour les combinaisons linéaires, les produits et les compositions. Limite et continuité en un point
- Continuité sur une partie et propriétés des fonctions réelles continues sur un fermé borné. Applications lipschitziennes, linéaires et multilinéaires, puis continuité du déterminant et ouverture de l’ensemble des matrices inversibles. Applications continues
Chapitre 6 — Séries numériques
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- Sommes partielles, convergence et premières séries de référence. Les critères de comparaison pour les termes positifs et la convergence absolue permettent de déterminer la nature d’une série réelle ou complexe. Rappels sur les séries numériques
- Comparaison série-intégrale, séries de Riemann et constante d’Euler. Les compléments sur les séries de Bertrand, la formule de Stirling et la règle de d’Alembert précèdent le théorème des séries alternées et ses applications. Compléments sur les séries à valeurs réelles
- Définition du produit de Cauchy et calcul de sa somme. Lorsque les deux séries sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy l’est aussi et sa somme est le produit des deux sommes. Produit de Cauchy de deux séries complexes
Chapitre 7 — Suites et séries de fonctions
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- Convergence simple et convergence uniforme d’une suite de fonctions. Comparaison de ces deux notions, rôle de la norme uniforme et convergence uniforme sur tout compact, à travers des exemples et contre-exemples. Modes de convergence d’une suite de fonctions
- Convergences simple, uniforme et normale d’une série de fonctions. Le contrôle des restes et la majoration des termes éclairent leurs liens, avec la série géométrique et la fonction zêta comme exemples. Modes de convergence d’une série de fonctions
- Continuité d’une limite uniforme, théorème de la double limite et passage à la limite sous une intégrale sur un segment. Les hypothèses sur les dérivées permettent ensuite de transmettre la dérivabilité et la régularité d’ordre supérieur. Régularité de la limite d’une suite de fonctions
- Continuité de la somme, double limite et intégration terme à terme. Les théorèmes de dérivation des séries de fonctions donnent ensuite la régularité de la somme, notamment pour la fonction zêta. Régularité de la somme d’une série de fonctions
Chapitre 8 — Séries entières
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- Lemme d’Abel, disque de convergence et comportement au bord. Calcul du rayon par comparaison ou par la règle de d’Alembert, séries lacunaires, puis rayons de convergence d’une somme et d’un produit de séries entières. Rayon de convergence
- Continuité à l’intérieur de l’intervalle de convergence et précautions aux extrémités. Primitivation et dérivations terme à terme, expression des coefficients par les dérivées en zéro et unicité du développement. Régularité de la somme
- Lien entre développement en série entière et série de Taylor, avec un contre-exemple à la réciproque. Développements usuels des fonctions exponentielle, trigonométriques et logarithmiques, puis méthode de l’équation différentielle. Développement en série entière
- Les séries géométrique et exponentielle dans le domaine complexe. Domaines de convergence et identification des sommes avec les fonctions 1/(1−z) et exp(z). Séries géométrique et exponentielle
Chapitre 9 — Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
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- Dérivée d’une fonction vectorielle et calcul par composantes, avec une interprétation géométrique et cinématique. Règles de dérivation pour les compositions et les applications linéaires, bilinéaires ou multilinéaires. Dérivabilité et opérations sur les fonctions dérivables
- Dérivées successives et fonctions vectorielles de classe Cᵏ. Les règles de calcul s’étendent aux combinaisons linéaires, aux compositions et aux expressions bilinéaires, avec la formule de Leibniz. Fonctions de classe Ck
- Paramétrage d’un arc, points réguliers, tangente et normale dans le plan. La longueur d’un arc de classe C¹ s’exprime par une intégrale ; distinction entre longueur de l’arc et longueur de son support. Arcs paramétrés
- Développements limités et allure locale d’un arc, puis branches infinies et asymptotes. Périodicité, symétries, variations, points doubles et points d’inflexion organisent le tracé, illustré par l’étude complète du bicorne. Construction d'arcs plans, avec des exemples
Chapitre 10 — Intégration
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- Subdivisions et fonctions continues par morceaux, puis intégration sur un segment. Linéarité, relation de Chasles, inégalités de la moyenne et de Cauchy-Schwarz, sommes de Riemann et simplifications par symétrie ou périodicité. Fonctions continues par morceaux
- Convergence d’une intégrale aux bornes d’un intervalle ouvert ou non borné. Intégrales de référence, propriétés de linéarité et de comparaison pour les fonctions positives, puis changements de variable et intégrations par parties. Intégrales généralisées
- Convergence absolue et critères d’intégrabilité par majoration, domination ou équivalence. Exemples autour des intégrales de référence et de la fonction Gamma, puis fonctions de carré intégrable et produit scalaire associé. Fonctions intégrables
- Le théorème de convergence dominée justifie le passage à la limite sous l’intégrale. Le théorème d’intégration terme à terme traite ensuite les séries de fonctions, avec des exercices de vérification des hypothèses. Suites et séries de fonctions intégrables
- Continuité et dérivation sous le signe intégral, sous des hypothèses de domination adaptées au paramètre. Applications à la fonction Gamma, aux intégrales de Gauss et de Lejeune-Dirichlet, puis présentation des transformées de Fourier et de Laplace. Intégrales à paramètre
Chapitre 11 — Probabilités
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- Dénombrabilité, tribus et construction d’un espace probabilisé. Continuité croissante ou décroissante des probabilités, conditionnement, formules des probabilités totales et de Bayes, puis indépendance et exemples de Borel-Cantelli. Espaces probabilisés
- Variables aléatoires discrètes, loi et fonction de répartition. Loi de l’image d’une variable par une fonction, modélisation d’expériences aléatoires et rappels sur les lois uniforme, de Bernoulli et binomiale. Variables aléatoires discrètes
- Lois conjointes, marginales et conditionnelles d’un couple discret. Critères d’indépendance, fonctions de variables indépendantes et extension aux familles de variables mutuellement indépendantes. Couples de variables aléatoires discrètes
- Des rappels en univers fini au cas dénombrable : espérance, théorème du transfert, linéarité et positivité. Variance, covariance, espérance d’un produit et variance d’une somme, avec les simplifications dues à l’indépendance. Espérance et variance
- La fonction génératrice caractérise la loi d’une variable à valeurs dans les entiers naturels. Ses dérivées en 1 donnent l’espérance et la variance ; la somme de variables indépendantes correspond au produit des fonctions génératrices. Variables aléatoires à valeurs dans N
- Loi géométrique et propriété d’absence de mémoire, puis loi de Poisson. Espérance, variance et fonction génératrice de ces lois, approximation de la binomiale par la loi de Poisson et somme de variables de Poisson indépendantes. Loi géométrique et loi de Poisson
- Les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev contrôlent les probabilités d’écart. Elles conduisent à la loi faible des grands nombres et à l’interprétation de la moyenne empirique. Loi faible des grands nombres
Chapitre 12 — Calcul différentiel
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- Fonctions partielles, dérivées partielles et contre-exemples de continuité. Pour les fonctions de classe C¹ : développement limité au premier ordre, différentielle, règle de la chaîne, coordonnées polaires et gradient. Fonctions de classe C1
- Courbes et surfaces définies par une équation implicite : paramétrage local, tangente et plan tangent aux points réguliers. Lignes de niveau, équipotentielles et lignes de champ illustrent le rôle géométrique du gradient. Applications géométriques
- Dérivées partielles secondes et théorème de Schwarz, avec un contre-exemple lorsque ses hypothèses manquent. Les équations du transport, de la chaleur et des ondes introduisent des exemples de changements de variables. Dérivées partielles d’ordre deux
- Condition nécessaire d’extremum intérieur pour une fonction de classe C¹ : l’annulation du gradient. Les exemples montrent comment rechercher les points critiques et déterminer s’ils correspondent à des extremums. Extremums d’une fonction de Rp dans R
- Huit exercices de calcul différentiel : prolongement par continuité, régularité à l’origine, changements de variables dans une équation aux dérivées partielles, fonctions harmoniques et recherche d’extremums. Quelques exercices
Chapitre 13 — Équations différentielles linéaires
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- Systèmes différentiels linéaires et théorème de Cauchy, puis structure et dimension de l’espace des solutions homogènes. Méthode d’Euler et résolution à matrice constante par diagonalisation ou trigonalisation. Systèmes différentiels
- Équations linéaires scalaires ramenées à un système, problème de Cauchy et principe de superposition. Résolution des équations homogènes à coefficients constants et recherche de solutions par séries entières ou pour certains seconds membres. Équations différentielles linéaires scalaires