Une suite/série implicite

(Oral Centrale)

  1. Montrer : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}.
  2. Déterminer la nature de {\displaystyle\sum a_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
  3. Déterminer la limite de {n(1-na_{n})} en {+\infty}.
  4. Développer {a_n} à la précision {\;{\rm o}\!\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}.