Une transformation de Laplace

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{C})} nulle pour {|x|\gt A}.

  1. Montrer que {F(x)=\displaystyle\int_{\infty }^{+\infty }\!\!\!\!f(t)e^{-itx}dt} est {C^{\infty }} sur {\mathbb{R}}.
  2. Montrer que : {\forall\, n\in \mathbb{N},\;\exists\, C_{n}\in \mathbb{R}},
    {\forall\, x>0},{\ |F(x)|\leq \dfrac{C_{n}}{x^{n}}}