Suite implicite et série

(Oral Inp)
Pour {n\ge2}, on pose {f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}.

  1. Montrer que : {\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}.
    Déterminer un équivalent de {u_{n}}.
  2. on pose {v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}.
    Trouver {a,b} tels que {\displaystyle\sum v_{n}} converge.