Intégrales et séries

(Oral Ensam)
On pose {a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}

  1. Montrer que {(a_{n})} est définie. Donner sa limite.
  2. Calculer {a_{n}+a_{n+1}}.
    En déduire un équivalent de {a_{n}}.
  3. Calculer {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.