Florilège d’exercices (2)

Exercice 1.
Soit {E} un ensemble fini. Pour toutes parties {X} et {Y} de {E}, on note {d(X,Y)=\text{card}(X\Delta Y)}.

  1. Montrer qu’on a toujours {d(X,Y)\le \text{card}(X)+\text{card}(Y)}et dire quand il y a égalité.
  2. Pour toutes parties {A,B,C} de {E}, montrer que {d(A,B)\le d(A,C)+d(C,B)}
  3. Montrer que l’inégalité précédente est une égalité si et seulement si {A\cap B\subset C\subset A\cup B}.

Exercice 2.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, donner une expression simple de la somme {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\dbinom{2n}{2k}}.
Exercice 3.

  1. Soient {m,n} deux entiers naturels. Montrer que {m^{2}+n^{2}} est divisible par {7} si et seulement si {m,n} sont tous deux divisibles par {7}.
  2. En déduire que le seul triplet {(x,y,z)} de {\mathbb{N}^{3}} tel que {x^{2}+y^{2}=7z^{2}} est {(0,0,0)}.

Exercice 4.

  1. Soient {m,n} deux entiers naturels.
    Montrer que {m^{2}+n^{2}} est divisible par {3} si et seulement si {m,n} sont tous deux divisibles par {3}.
  2. En déduire que le seul quadruplet {(x,y,z,t)} de {\mathbb{N}^{4}} tel que {x^{2}\!+\!y^{2}=3(z^{2}\!+\!t^{2})} est {(0,0,0,0)}.

Exercice 5.
Soit {E} un ensemble fini non vide.
Soit {a} un élément fixé de {E}.

  1. Montrer que l’application {\varphi} qui à {X} associe {X\,\Delta\,\{a\}} est une bijection de {\mathcal{P}(E)} sur lui-même.

  2. En déduire que dans {\mathcal{P}(E)}, il y a autant de parties paires que de parties impaires.