Quelques belles inégalités

Exercice 1.

  1. Soit {(x_{k})_{1\le k\le n}} dans {\mathbb{R}^{+*}}, tels que {\displaystyle\prod_{k=1}^{n}x_{k}= 1}.
    Montrer que {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}\ge n} (cas d’égalité?).
    Indication : par récurrence sur {n}. On pourra rapprocher le plus petit et le plus grand des {x_{k}}.
  2. Soit {(x_{k})_{1\le k\le n}} dans {\mathbb{R}^{+*}}. Soit {y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}} un réarrangement quelconque de {x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}}.

    Montrer que {\dfrac{y_{1}}{x_{1}}+\dfrac{y_{2}}{x_{2}}+\cdots+\dfrac{y_{n}}{x_{n}}\ge n}.

Exercice 2.
Soit {(a_{k})_{1\le k\le n}} dans {\mathbb{R}^{+*}}. On note : {A_{n}\!=\!\dfrac{1}{n}\!\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k},\,G_{n}\!=\!\Bigl(\displaystyle\prod_{k=1}^{n}a_{k}\Bigr)^{1/n}\!\!,H_{n}\!=\!n\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\!\dfrac{1}{a_{k}}\Bigr)^{\!-1}}On dit que {A_{n}} (resp. {G_{n}}, {H_{n}}) est la moyenne arithmétique (géométrique, harmonique) des {a_{k}}.

Prouver la double inégalité : {A_{n}\ge G_{n}\ge H_{n}}.

Hint: utiliser l’exercice 1 avec {x_{k}=\dfrac{a_{k}}{G_{n}}} ou {x_{k}=\dfrac{G_{n}}{a_{k}}}.

Exercice 3.
On utilisera ici les résultats de l’exercice 2.

  1. Retrouver l’inégalité de Bernoulli : {(1+x)^{n}\ge 1+nx\text{ pour tout }x\ge0}
  2. Pour tous {a,b,c} dans {\mathbb{R}^{+*}}, montrer que {\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}+\dfrac{2}{a+b}\ge \dfrac{9}{a+b+c}}
  3. Pour {n\ge2}, prouver : {1>\displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1}\dfrac{1}{k}> \dfrac{2}{3}}.

  4. Pour {n\ge1}, prouver : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}\ge n\Bigl(\sqrt[n]{n\!+\!1}\!-\!1\Bigr)}

Exercice 4.
On utilisera ici les résultats de l’exercice 2.

  1. Montrer que si {a>0}, {b\ge0} et {n\in\mathbb{N}^{*}}, on a : {a(a+nb)^{n-1}\le(a+(n-1)b)^{n}}
  2. Soit {(x_{k})_{1\le k\le n}} une suite arithmétique à termes strictement positifs. Montrer que : {\sqrt{x_{1}x_{n}}\le \Bigl(\displaystyle\prod_{k=1}^{n}x_{k}\Bigr)^{1/n}\le \dfrac{x_{1}+x_{n}}{2}}(pour la première inégalité, procéder par récurrence sur {n} et se ramener à la question 1).
  3. En déduire : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\sqrt{n}\le \sqrt[n]{n!}\le \dfrac{n+1}{2}}.
  4. Soit {(x_{k})_{1\le k\le n}} des réels strictement positifs.

    Montrer que :{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}\le 1\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_{k}}\ge n^{2}}.

  5. Soit {(x_{k})_{1\le k\le n}} des réels strictement positifs.

    Montrer que : {\displaystyle\prod_{k=1}^{n}x_{k}=\!1\Rightarrow\!\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1\!+\!x_{k})\ge 2^{n}}.