Exercice (oral Centrale/Supélec)
Dans tout cet énoncé, on considère des polynômes unitaires à coefficients dans {\mathbb{C}}.
Soit {A\in\mathbb{C}[X]} unitaire de degré {mn}, où {m,n} sont des entiers supérieurs ou égaux à 2.
On dit que {A} est {(m,n)}-décomposable s’il existe un polynôme {B} unitaire de degré {m} et un polynôme {C} unitaire de degré {n} tels que {A(X)=B(C(X))}.
Montrer qu’un un polynôme {A}, unitaire de degré {4}, est {(2,2)}-décomposable si et seulement si ses racines (comptées selon leur multiplicité) forment un parallélogramme dans le plan complexe.
On rappelle que si {S} est un ensemble de {n} éléments de {\mathbb{C}} (non nécessairement distincts), on note :{\sigma_1(S),\sigma_2(S),\ldots,\sigma_n(S)} les « fonctions symétriques élémentaires » des éléments de {S}. On rappelle que les {\sigma_k(S)} sont définis par le développement :{\begin{array}{l}\displaystyle\prod_{s\in S}{(X-s)}\\[9pt]\quad=X^n-\sigma_1(S) X^{n-1}+\sigma_2(S) X^{n-2}+\cdots\\[9pt]\quad+(-1)^{n-1}\sigma_{n-1}(S)X+(-1)^n\sigma_n(S)\end{array}}Soit {A\in\mathbb{C}[X]} unitaire de degré {mn} avec {\begin{cases}m\ge2\\n\ge2\end{cases}}
On va prouver que {A} est {(m,n)}-décomposable si et seulement si il vérifie la propriété {\mathcal{P}} suivante :
L’ensemble des racines de {A} (répétées selon leur multiplicité) peut être partitionné en {m} ensembles {S_1,\ldots,S_m} de cardinal {n} telles que : {\begin{array}{l}\begin{cases}\forall\, (i,j)\in\llbracket 1,m\rrbracket^2\\[6pt]\forall\, k\in\llbracket1,n\!-\!1\rrbracket\end{cases},\ \sigma_k(S_i)=\sigma_k(S_{j})\end{array}}
Dans un premier temps, on suppose qu’il existe {B,C} unitaires, avec :{\begin{cases}\deg B=m\\\deg C=n\end{cases}\;\text{et}\;A(X)=B(C(X))}Soit {B=\displaystyle\prod_{i=1}^{m}(X-\lambda_i)} la factorisation de {B}.
Pour {1\!\le\! i\!\le\! m}, soit : {C(X)\!-\!\lambda_i=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}(X\!-\!\mu_{i,j})}
Montrer que {A} vérifie la propriété {\mathcal{P}}.
Établir la réciproque.