QCM (séries numériques)

Voici un QCM sur le thème « Séries numériques ». Pour chacune des 20 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte. On réfléchira bien avant de choisir la bonne réponse, il peut y avoir des pièges.

Combien vaut la somme {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{3^{n}}} ?
Pour quels {a > 0} la série {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\sh(n)}{a^{n}}} est-elle convergente ?
Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}} telle que {\sum\ln(u_{n})} converge.
Laquelle de ces séries n’est pas nécessairement convergente?
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Soit {\alpha > 0} et {u_{n} = \cos\Bigl(\dfrac{1}{n^{\alpha}}\Big)-1} pour tout {n\ge 1}.
La série {\sum u_{n}} converge si et seulement si :
Le produit de Cauchy de {\sum a_{n}} et {\sum b_{n}} est {\sum c_{n}} où {c_{n}} vaut :
Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite réelle telle que la série {\sum u_{n}} converge.
Laquelle des hypothèses suivantes sur la suite réelle {(v_{n})_{n\ge0}} permet-elle de dire que la série {\sum v_{n}} converge aussi ?
À quelle série ne peut-on pas appliquer le théorème spécial des séries alternées ?
Laquelle des hypothèses suivantes sur la suite réelle {(u_{n})_{n\ge0}} permet-elle d’affirmer que la série {\sum u_{n}} converge ?
Si {\sum u_{n}} est absolument convergente et si {w_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}2^{k-n}u_{k}}, alors :
Combien vaut {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^{n}n!}} ?
Soit {(u_{n})_{n\ge1}} définie par {u_{n}=1} s’il existe {k\in\mathbb{N}} tel que {n = k^{2}}, et {u_{n}= 0} sinon. Laquelle des séries suivantes converge-t-elle ?
Soit {\sum u_{n}} une série à termes positifs. Quelle condition est suffisante pour garantir que cette série converge ?
Pour laquelle des séries suivantes le critère de D’Alembert permet-il de montrer la convergence ?
Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite réelle. Soit {\mathcal{P}} la propriété «la série {\sum u_{n}} converge », et soit {\mathcal{Q}} la propriété «la série {\sum u_{n}^{2}} converge». Alors :
Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite réelle telle que la série {\sum u_{n}} converge.
Laquelle des séries suivantes converge-t-elle dans tous les cas ?
Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite qui converge vers {0}.
Alors {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(u_{n}-2u_{n+1}+u_{n+2})} vaut :
Je suis une série qui converge grâce au critère des séries alternées, mais je ne suis pas absolument convergente. Qui suis-je ?
Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite à valeurs dans {\mathbb{R}^{+}}. Quel lien logique y a-t-il entre {\mathcal{P}}: «{\sum u_{n}} converge » et {\mathcal{Q}}: «{u_{n}=\text{o}(1/n)}»?
Soit {(u_{n})_{n\ge0}} une suite de réels.
Quelle condition est suffisante pour que {(u_{n})_{n\ge0}} converge?
De quelle série calcule-t-on facilement la somme?