Probabilités (1/6)

• l'ensemble {E} est fini ou dénombrable
• il existe une application surjective de {\mathbb{N}} sur {E}

Dire que {E} est fini ou dénombrable, c'est donc pouvoir écrire {E=\{x_{n},\; n\in\mathbb{N}\}}, ou encore {E=\{x_{n},\; n\in J\}} où {J\subset\mathbb{N}} et où les {x_{n}} sont distincts.

• L'ensemble {\mathbb{Z}} des entiers relatifs est dénombrable.
• L'ensemble {\mathbb{N}\times\mathbb{N}} est dénombrable. Plus généralement, si {E} et {F} sont dénombrables, leur produit cartésien {E\times F} est dénombrable.
• L'ensemble {E=\{0,1\}^{\mathbb{N}}} de toutes les suites à valeurs dans {\{0,1\}} n'est pas dénombrable.
• L'ensemble {\mathbb{R}} n'est pas dénombrable.

• Passage au complémentaire : {\;\overline{\bigcup\limits_{n\in J}A_{n}}=\bigcap\limits_{n\in J}\overline{A_{n}}\;\;\text{et}\;\;\overline{\bigcap\limits_{n\in J}A_{n}}=\bigcup\limits_{n\in J}\overline{A_{n}}\;}
• Distributivité : pour toute partie {B} de {E}, on a
  {\begin{array}{c}B\cap\Bigl(\bigcup\limits_{n\in J}A_{n}\Bigr)=\bigcup\limits_{n\in J}\bigl(B\cap A_{n}\bigr)\\[12pt]B\cup\Bigl(\bigcap\limits_{n\in J}A_{n}\Bigr)=\bigcap\limits_{n\in J}\bigl(B\cup A_{n}\bigr)\end{array}}
• Union croissante, et intersection décroissante :
  On pose {C_{n}=\!\!\!\bigcup\limits_{0\le k\le n}\!\!\!A_{k}} et {D_{n}=\!\!\!\bigcap\limits_{0\le k\le n}\!\!\!A_{k}}. Alors : {\bigcup\limits_{n\in J}A_{n}=\bigcup\limits_{n\in J}C_{n}\;\;\text{et}\;\;\bigcap\limits_{n\in J}A_{n}=\bigcap\limits_{n\in J}D_{n}}

• Unions et intersections dénombrables
• Ensembles non dénombrables