⇧ ① Ensembles dénombrables. Tribu, événements.
② Probabilité. Conditionnement. Indépendance.
③ Variables aléatoires discrètes. Loi. Fn de répartition.
④ Couple de var. Loi conjointe, loi marginale.
⑤ Espérance. Variance. Covariance, corrélation.
⑥ Fn génératrice. G(p), P(λ). Loi des grands nombres. 1 ② 3 4 5 6
② Probabilité. Conditionnement. Indépendance.
③ Variables aléatoires discrètes. Loi. Fn de répartition.
④ Couple de var. Loi conjointe, loi marginale.
⑤ Espérance. Variance. Covariance, corrélation.
⑥ Fn génératrice. G(p), P(λ). Loi des grands nombres. 1 ② 3 4 5 6
Espaces probabilisés
D. Probabilité, espace probabilisé
Soit {\mathscr{A}} une tribu sur un univers {\Omega}. On appelle probabilité sur {(\Omega,\mathscr{A})} toute application {\mathbb{P}} définie sur {\mathscr{A}}, à valeurs dans {[0, 1]} telle que :
- {\mathbb{P}(\Omega)=1} (probabilité de l'événement certain)
-
Propriété de {\sigma}-additivité :
pour toute suite {(A_n)} d'événements deux à deux incompatibles, {\mathbb{P}\Bigl(\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty}A_n\Bigr)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(A_n)}
Le triplet {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} est appelé un espace probabilisé.
P. Propriétés immédiates
Soit {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé.
- L'événement impossible : {\mathbb{P}(\emptyset)=0}
- La {\sigma}-additivité vaut bien sûr pour des unions finies d'événements deux à deux incompatibles
- Événements contraires : {\mathbb{P}(\overline{A})=1-\mathbb{P}(A)}
- Si {A,B} sont deux événements et si {A\subset B}, alors {\mathbb{P}(A)\le \mathbb{P}(B)} (croissance de la probabilité)
- Si {A,B} sont deux événements, alors :{\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)}
R. Univers dénombrables ou non
- Si l'univers {\Omega} est fini ou dénombrable, on choisit en principe la tribu {\mathscr{A}=\mathcal{P}(\Omega)}.
La fonction de probabilité {\mathbb{P}} est alors déterminée par la donnée des probabilités des événements élémentaires. - Il existe des univers non dénombrables. Par exemple, l'univers associé à une suite indéfinie d'épreuves de Bernoulli est {\Omega=\{0,1\}^{\mathbb{N}}}.
- Pour créer un espace probabilisé sur un tel univers, il faut par exemple préciser les événements "intéressants", leur attribuer une probabilité, et admettre l'existence d'une plus petite tribu {\mathscr{A}} contenant les réunions finies ou dénombrables de ces événements.
D. Événements négligeables ou presque sûrs
Soit {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé.
On dit qu'un événement {A} est négligeable si sa probabilité est nulle.
On dit qu'il est presque sûr si sa probabilité vaut {1}.
On dit qu'un événement {A} est négligeable si sa probabilité est nulle.
On dit qu'il est presque sûr si sa probabilité vaut {1}.
R. Remarques
- L'événement impossible {\emptyset} est évidemment négligeable, de même que l'événement certain {\Omega} est presque sûr. Réciproquement, il peut exister des événements qui sont négligeables sans être impossibles (obtenir toujours Pile quand on lance indéfiniment une pièce honnête!) ou presque sûrs sans être certains.
- Tout événement qui contient un événement presque sûr est lui-même presque sûr. Tout événement inclus dans un événement négligeable est négligeable.
- Si {A} est presque sûr, et si {B} est un événement quelconque, alors {\mathbb{P}(B\cap A)=\mathbb{P}(B)}.
P. Propriété de continuité croissante
Soit {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé.
Soit {(A_n)_{n\ge0}} une suite croissante d'événements, donc telle que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\; A_{n}\subset A_{n+1}}.
Alors on a l'égalité : {{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(A_n)}=\mathbb{P}\Bigl(\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty}A_n\Bigr)}.
Soit {(A_n)_{n\ge0}} une suite croissante d'événements, donc telle que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\; A_{n}\subset A_{n+1}}.
Alors on a l'égalité : {{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(A_n)}=\mathbb{P}\Bigl(\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty}A_n\Bigr)}.
P. Propriété de continuité décroissante
Soit {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé.
Soit {(A_n)_{n\ge0}} une suite décroissante d'événements, donc telle que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\; A_{n+1}\subset A_{n}}.
Alors on a l'égalité : {{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(A_n)}=\mathbb{P}\Bigl(\,\bigcap\limits_{n=0}^{+\infty}A_n\Bigr)}.
Soit {(A_n)_{n\ge0}} une suite décroissante d'événements, donc telle que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\; A_{n+1}\subset A_{n}}.
Alors on a l'égalité : {{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(A_n)}=\mathbb{P}\Bigl(\,\bigcap\limits_{n=0}^{+\infty}A_n\Bigr)}.
P. Propriété de sous-additivité
Soit {(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})} un espace probabilisé, et soit {(A_n)_{n\ge0}} une suite d'événements.
Alors on a l'inégalité : {\mathbb{P}\Bigl(\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty}A_n\Bigr)\le \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(A_n)}.
L'inégalité précédente ne signifie pas que la série {\sum\limits \mathbb{P}(A_{n})} converge! Si cette série diverge, ou si sa somme est supérieure à {1}, le résultat est sans intérêt.
Alors on a l'inégalité : {\mathbb{P}\Bigl(\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty}A_n\Bigr)\le \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\mathbb{P}(A_n)}.
L'inégalité précédente ne signifie pas que la série {\sum\limits \mathbb{P}(A_{n})} converge! Si cette série diverge, ou si sa somme est supérieure à {1}, le résultat est sans intérêt.
E. Exercices conseillés
- Rétablir l’honnêteté d’une pièce
- Des livres sur une étagère
- Le paradoxe du duc de Toscane
- Le paradoxe des anniversaires
- Mme Michu et les probabilités
- Un dé, un python, un trinôme
- Anagrammes d’abracadabra
- Les deux lemmes de Borel-Cantelli
- Un événement négligeable
- Événements presque sûrs ou négligeables
- Quatre pions sur trois cases
- La formule du crible
- Une somme de probabilités