Logique et ensembles (6/6)

⇧ 1 2 3 4 5 ⑥

Les relations binaires

D. Relation binaire

Soit

{E}

{F}

deux ensembles.
On appelle relation

{\mathcal{R}}

{E}

vers

{F}

la donnée d'une partie

{R}

du produit cartésien

{E\times F}

.
La partie

{R}

est appelée le graphe de la relation

{\mathcal{R}}

.
On dit qu'un élément

{x}

{E}

est en relation avec un élément

{y}

{F}

, pour la relation

{\mathcal{R}}

, si le couple

{(x,y)}

appartient au graphe

{R}

. On exprime cette situation en écrivant

{x\mathcal{R} y}

.
Si

{E=F}

on dit que

{\mathcal{R}}

est une relation sur

{E}

R. Exemples de relations

La relation d'inclusion dans l'ensemble des parties de ${E}$ : ${A\mathcal{R} B\Leftrightarrow A\subset B}$ .
La relation de divisibilité sur les entiers relatifs: ${m\mathcal{R} n\Leftrightarrow m\text{\ divise\ }n}$ .
Dans ${\mathbb{Z}}$ , et si ${a}$ non nul, on définit la relation de congruence modulo ${a}$ : ${m\mathcal{R} n\Leftrightarrow m-n\text{\ est divisible par\ }a}$ .
On note le plus souvent ${m\equiv n\;(a)}$ .
Sur tout ensemble ${E}$ , on peut définir la relation égalité : ${x\mathcal{R} y\Leftrightarrow x =y}$ .
Le graphe de cette relation est la diagonale ${\Delta(E)=\{(x, x), x\in E\}}$ .
Soit ${E}$ et ${F}$ deux ensembles quelconques.
On définit la relation universelle de ${E}$ vers ${F}$ par : ${\forall\, (x,y) \in E\times F, x\mathcal{R} y}$ .
Le graphe de cette relation est l'ensemble ${E\times F}$ tout entier.

Ce contenu nécessite une souscription active

Ce contenu nécessite une souscription active

Ce contenu nécessite une souscription active

Ce contenu nécessite une souscription active

Ce contenu nécessite une souscription active

⇧ 1 2 3 4 5 ⑥