② Partie entière. Densité de ℚ. Racines, exposants.
③ Graphes. (Im)parité. Symétries. Périodes. Monotonie.
④ Dérivée et variations. Bij réciproque. Dérivée n-ième.
⑤ Exp, Ln. Puissances. Arcsin/cos/tan. Sh, Ch, Th.
⑥ Étude de fonctions. Inégalités utiles. ① 2 3 4 5 6
Relation d’ordre total sur {\mathbb{R}}
Cette relation vérifie les propriétés suivantes :
- ordre total : pour tous {x,y}, {x\le y} ou {y\le x}.
- compatibilité avec l'addition : {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;x\le y\Rightarrow x+z\le y+z}.
- et avec le produit par un réel positif : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;\forall z\in\mathbb{R}^+,\;(x\le y)\Rightarrow xz\le yz}.
-
La relation d'ordre contraire de la précédente, définie par {x\ge y}, équivaut à {y\le x}.
On utilise plus souvent {\le} que {\ge} dans les calculs, mais essentiellement {\le} dans les définitions et propriétés (sachant qu'à toute propriété relative à {\le} correspondant une propriété relative à {\ge}). -
On définit les inégalités strictes : {\begin{cases}\;x\lt y\text{\ équivaut à\ }(x\le y\;\text{et}\; x\ne y)\cr\;x>y\text{\ équivaut à\ }y\lt x\end{cases}}
On rappelle que les relations {\lt } et {>} ne définissent pas des relations d'ordre, car elles ne sont pas réflexives (on n'a jamais {x\lt x}.
Pour ce qui est de {\mathbb{N}} et {\mathbb{Z}}, on dispose de propriétés importantes :
- Toute partie non vide de {\mathbb{N}} possède un élément minimum ({0} est le minimum de {\mathbb{N}}).
- Toute partie minorée non vide de {\mathbb{Z}} possède un élément minimum.
- Toute partie majorée non vide de {\mathbb{N}}, ou de {\mathbb{Z}}, possède un élément maximum.
- Si {x} et {y} sont dans {\mathbb{Z}}, on a l'équivalence : {x\le y\Leftrightarrow(\exists\, n\in\mathbb{N},\;y=x+n)}.
Les propriétés précédentes sont fausses pour l'ensemble {\mathbb{Q}} (démontrez-le).
On définit de même : {\mathbb{Z}^{+*}}, {\mathbb{Z}^+}, {\mathbb{Q}^{+*}}, et {\mathbb{Q}^+}.
On pose {\begin{cases}\mathbb{R}^{-*}=\{x\in\mathbb{R},\;x\lt 0\}\\[6pt]\mathbb{R}^-=\mathbb{R}^{-*}\cup\{0\}=\{x\in\mathbb{R},\;x\le0\}\end{cases}}
On définit de même {\mathbb{Z}^{-*}}, {\mathbb{Z}^-}, {\mathbb{Q}^{-*}}, et {\mathbb{Q}^-}.
Mais si {x\le 0}, alors {-x\ge 0} et là encore on a {(-x)^{2}\ge 0} c'est-à-dire {x^{2}\ge 0}.
Retenons donc que pour tout {x} réel, on a {x^{2}\ge0} (et bien sûr {x^{2}>0} pour tout réel {x} non nul).
De cette remarque très simple, il découle qu'il n'existe pas de relation d'ordre dans {\mathbb{C}} qui puisse étendre celle de {\mathbb{R}} (en gardant notamment la comptabilité pour le produit par un nombre positif) : en effet, si tel était le cas, on trouverait {i^{2}>0}, c'est-à-dire {-1>0}.
Il existe des relations d'ordre total sur {\mathbb{C}}, mais qui ne généralisent pas les propriétés de celle de {\mathbb{R}}.
Pour éviter les ennuis, on évitera donc d'écrire {z\le z'}, quand {z} et {z'} sont dans {\mathbb{C}}.
{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&\ge0&\le0&\ge0&>0&\lt 0\cr y&\ge0&\le0&\le0&>0&\lt 0\vphantom{\Bigl(}\cr\hline \vphantom{\Bigl(}x+y&\ge0&\le0&?&>0&\lt 0\cr xy&\ge0&\ge0&\le0&>0&>0\end{array}}{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&\gt0&>0&>0&\lt 0&\lt 0\cr y&\lt 0&\ge0&\le0&\ge0&\le0\vphantom{\Bigl(}\cr\hline \vphantom{\Bigl(}x+y&?&>0&?&?&\lt 0\cr xy&\lt 0&\ge0&\le0&\le0&\ge0\end{array}}
On démontre également les équivalences suivantes, valables pour tous réels {x,y,z} :
{\begin{cases}x+z\le y+z\Leftrightarrow x\le y\cr x\le y\Leftrightarrow-y\le-x\cr x\le0\Leftrightarrow-x\ge0\end{cases}}{\begin{cases}x+z\lt y+z\Leftrightarrow x\lt y\cr x\lt y\Leftrightarrow-y\lt -x\cr x\lt 0\Leftrightarrow-x>0\end{cases}}{\begin{cases}(x\le y\;\text{et}\; z\le0)\Rightarrow xz\ge yz\cr (x\lt y\;\text{et}\; z>0)\Rightarrow xz\lt yz\cr (x\lt y\;\text{et}\; z\lt 0)\Rightarrow xz>yz\end{cases}}
{\begin{array}{l}0\lt x\lt y\Leftrightarrow 0\lt \dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{x}\\\\ x\lt y\lt 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{x}\lt 0\\\\x\lt 0\lt y\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\lt 0\lt \dfrac{1}{y}\end{array}}