Techniques d’analyse (3/6)

Dans la suite, on considère des fonctions {f} à valeurs réelles, définies sur une partie {\mathcal{D}} de {\mathbb{R}}.
On dit que {\mathcal{D}} est le domaine de définition de la fonction numérique {f}.
Le plus souvent, {\mathcal{D}} est un intervalle ou une réunion disjointe d'intervalles.

On munit le plan d'un repère orthogonal (et même, le plus souvent, orthonormé).
L'ensemble {(\Gamma)} des points {M(x,f(x))} est appelé courbe représentative (ou graphe) de {f}.
Chaque droite verticale {x=x_{0}}, où {x_{0}\in\mathcal{D}}, rencontre {(\Gamma)} en l'unique point {(x_{0},f(x_{0}))}.

On voit ici la courbe représentative d'une fonction définie sur un segment {[\alpha,\beta]} de {\mathbb{R}}.

Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} une fonction, et soit {(\Gamma)} sa courbe représentative.

À partir de {f} et d'un réel {a}, on va voir plusieurs définitions d'une fonction {f_{a}} : on va déterminer son domaine {\mathcal{D}_{a}}, et trouver la relation géométrique entre les courbes {(\Gamma)} de {f} et {(\Gamma_{a})} de {f_{a}}.

Posons {f_{a}(x)=f(x)+a}. Le domaine {\mathcal{D}_{a}} de {f_{a}} égal au domaine {\mathcal{D}} de {f}.

La courbe {(\Gamma_{a})} se déduit de {(\Gamma)} par la translation de vecteur {(0,a)}.

En effet, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}M(x,y)\in\Gamma_{a}&\Leftrightarrow y=f_{a}(x)=f(x)+a\\\\ &\Leftrightarrow y-a=f(x)\Leftrightarrow N(x,y-a)\in\Gamma\end{array}}

Soit {f_{a}(x)=f(x+a)}. Alors {\mathcal{D}_{a}=\{x-a,\;x\in\mathcal{D}\}}.

Le domaine {(\mathcal{D}_{a})} se déduit de {(\mathcal{D})} par la translation {x\mapsto x-a}.

De même, {(\Gamma_{a})} se déduit de {(\Gamma)} par la translation de vecteur {(-a,0)}.

En effet, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}M(x,y)\in\Gamma_{a}&\Leftrightarrow y=f_{a}(x)=f(x+a)\\\\&\Leftrightarrow N(x+a,y)\in\Gamma\end{array}}

Posons {f_{a}(x)=f(a-x)}. Alors {\mathcal{D}_{a}=\{a-x,\;x\in\mathcal{D}\}}.

Ainsi {(\mathcal{D}_{a})} se déduit de {(\mathcal{D})} par la symétrie {x\mapsto a-x} par rapport à la valeur {a/2}.

De même, {(\Gamma_{a})} se déduit de {(\Gamma)} par la symétrie par rapport à l'axe vertical d'équation {x=a/2}.

En effet, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}M(x,y)\in\Gamma_{a}&\Leftrightarrow y=f(a-x)\Leftrightarrow N(a-x,y)\in\Gamma\end{array}}

Cas particulier : la courbe représentative de {x\mapsto f(-x)} est symétrique de {(\Gamma)} par rapport à {Oy}.

Posons {f_{a}(x)=f(ax)}. Alors {\mathcal{D}_{a}=\{x/a,\;x\in\mathcal{D}\}}.

Ainsi {(\mathcal{D}_{a})} se déduit de {(\mathcal{D})} par l'homothétie {x\mapsto x/a}.

De même, {(\Gamma_{a})} se déduit de {(\Gamma)} par une homothétie de rapport {1/a} selon les abscisses uniquement (ce qui produit un effet en accordéon horizontal).

En effet, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}M(x,y)\in\Gamma_{a}&\Leftrightarrow y=f(ax)\Leftrightarrow N(ax,y)\in\Gamma\end{array}}

Sur l'exemple ci-dessous, on a choisi {a=2}.

Posons {f_{a}(x)=af(x)}. Alors {\mathcal{D}_{a}=\mathcal{D}}.

Ici {(\Gamma_{a})} se déduit de {(\Gamma)} par une homothétie de rapport {a} selon les ordonnées uniquement (ce qui produit un effet en accordéon vertical). En effet, on a les équivalences :
{M(x,y)\in\Gamma_{a}\Leftrightarrow y=af(x)\Leftrightarrow N(x,y/a)\in\Gamma}
Sur l'exemple ci-dessous, on a choisi {a=2}.

Des solutions de {f(x)=\lambda} peuvent être représentées par les abscisses des points d'intersection de la courbe {(\Gamma)} et de la droite horizontale {y=\lambda} (l'axe {Ox} dans le cas de l'équation {f(x)=0}).

Sur cet exemple, on voit quatre solutions distinctes {\alpha\lt 0\lt \beta\lt \delta} de l'équation {f(x)=0}.

On voit aussi trois solutions {a\lt b\lt c} de {f(x)=\lambda} (la solution {a} étant qualifiée de "double" ou "multiple").

De la même manière, on interprète facilement les solutions des inéquations {f(x)\lt \lambda}, ou {f(x)\le \lambda}, ou {f(x)\ge \lambda}, ou {f(x)> \lambda}.