Séries numériques (2/3)

Soit {\displaystyle\sum u_n} une série à termes réels positifs ou nuls.
La suite {(S_{N})} des sommes partielles de la série {\displaystyle\sum u_n} est croissante.
Dans ces conditions, {\displaystyle\sum u_n} converge si et seulement si la suite {(S_N)} est majorée.

Si l'hypothèse {u_n\ge0} n'est vraie qu'à partir d'un certain rang {n_0}, le résultat reste valable.

Sachant que {\sum u_n} et {\sum(-u_n)} sont de même nature, l'énoncé se généralise (avec des modifications évidentes) aux séries réelles dont le terme général est de signe constant à partir d'un certain rang.

Soit {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n} deux séries.
on suppose {0\le u_{n}\le v_{n}} pour tout {n\ge n_{0}}.

• si on sait que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} diverge, alors {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} diverge.
• si {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} converge, la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} converge, et : {\forall N\ge n_{0},\;\displaystyle\sum_{n=N}^\infty u_n\le\displaystyle\sum_{n=N}^\infty v_n}

Soit {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n} deux séries à termes réels positifs (au moins à partir d'un certain rang).
Si {u_n\sim v_n}, {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n} sont de même nature.

La proposition précédente vaut aussi pour des séries à termes négatifs à partir d'un certain rang.

L'hypothèse selon laquelle les {u_{n}} et {v_{n}} gardent un signe constant est essentielle.

En effet, si on pose par exemple {u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}\;\text{et}\;v_n=\ln(1+u_n)}on a {u_{n}\sim v_{n}}, mais {\displaystyle\sum u_n} converge et {\displaystyle\sum v_n} diverge.

Soit {f:[n_{0},+\infty[\to\mathbb{R}^{+}} une fonction, continue par morceaux, décroissante et à valeurs positives.
Pour tout entier {n>n_{0}}, on a : {\displaystyle\int_{n}^{n+1}f(t)\,\text{d}t \le f(n)\le \displaystyle\int_{n-1}^{n}f(t)\,\text{d}t}Pour tout {N>n_{0}}, on en déduit : {\displaystyle\int_{n_{0}+1}^{N+1}f(t)\,\text{d}t \le \displaystyle\sum_{n=n_{0}+1}^{N}f(n)\le \displaystyle\int_{n_{0}}^{N}f(t)\,\text{d}t}Ainsi {\displaystyle\sum f(n)} converge {\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\int_{n_{0}}^{n}f(t)\,\text{d}t\in\mathbb{R}}.

Séries de Riemann :
{\quad\displaystyle\sum_{n\ge1}\,\dfrac1{n^\alpha}} converge si et seulement si {\alpha>1}.

Séries de Bertrand :
{\quad\displaystyle\sum_{n\ge2}\,\dfrac1{n^\alpha\,\ln^{\beta}(n)}} converge {\Leftrightarrow \alpha>1\;\text{ou}\;\begin{cases}\alpha=1\\\beta>1\end{cases}}

Par exemple, la série {\displaystyle\sum\dfrac1{n^2}} est convergente, et on montre que {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6}.